Криволинейная система координат

Криволине́йная систе́ма координа́т, или криволине́йные координа́ты в математике — система координат в евклидовом (аффинном) пространстве, или в области, содержащейся в нём. Криволинейные координаты противопоставляются декартовым, а также косоугольным. Применяются обычно на плоскости (n=2) и в пространстве (n=3); число координат равно размерности пространства n. Наиболее известным примером криволинейной системы координат являются полярные координаты на плоскости.

Локальные свойства криволинейных координат

При рассмотрении криволинейных координат в данном разделе мы будем полагать, что рассматриваем трёхмерное пространство (n=3), снабженное декартовыми координатами x, y, z. Случай других размерностей отличается лишь количеством координат.

В случае евклидова пространства метрический тензор, именуемый также квадратом дифференциала дуги, будет в этих координатах иметь вид, соответствующий единичной матрице:

$dS^2 = \mathbf{dx}^2 + \mathbf{dy}^2 + \mathbf{dz}^2.$

Общий случай

Криволинейные координаты в трёхмерном аффинном пространстве

Пусть $q_1$, $q_2$, $q_3$ — некие криволинейные координаты, которые мы будем считать заданными гладкими функциями от x, y, z. Для того, чтобы три функции $q_1$, $q_2$, $q_3$ служили координатами в некоторой области пространства, необходимо существование обратного отображения:

$\left\{\begin{matrix} x = \varphi_1\left(q_1,\;q_2,\;q_3\right);\\ y= \varphi_2\left(q_1,\;q_2,\;q_3\right); \\ z = \varphi_3\left(q_1,\;q_2,\;q_3\right),\end{matrix}\right.$

где $\varphi_1,\; \varphi_2,\; \varphi_3$ — функции, определённые в некоторой области наборов $\left(q_1,\;q_2,\;q_3\right)$ координат.

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Локальный базис и тензорный анализ

В тензорном исчислении можно ввести вектора локального базиса: $\mathbf{R_j}=\frac{d\mathbf r}{dy^j}= \frac{dx^i}{dy^j} \mathbf e_i=Q^i_j \mathbf e_i$ , где $\mathbf e_i$ - орты декартовой системы координат, $Q^i_j$ - матрица Якоби, $x^i$ координаты в декартовой системе, $y^i$ - вводимые криволинейные координаты.
Не трудно видеть, что криволинейные координаты, вообще говоря, меняются от точки к точке.
Укажем формулы для связи криволинейных и декартовых координат:
$\mathbf R_i=Q^j_i \mathbf e_j$
$\mathbf e_i=P^j_i \mathbf R_j$ где $P^i_j Q^i_j=E$, где Е - единичная матрица.
Произведение двух векторов локального базиса образует метрическую матрицу:
$\mathbf R_i \mathbf R_j = Q^n_i Q^m_j d_{nm} = g_{ij}$
$\mathbf R^i \mathbf R^j = P^i_n P^j_m d^{nm}=g^{ij}$
$g_{ij} g^{jk}=g^{jk} g_{ij} =d_i^k$, где $d_{ij}, d^{ij}, d^i_j$ контравариантный, ковариантный и смешанный символ Кронекера
Таким образом любое поле тензора $\mathbf T$ ранга n можно разложит по локальному полиадному базису:
$\mathbf T= T^{i_1 ... i_n} \mathbf e_i \otimes ... \otimes \mathbf e_n =T^{i_1 ...i_n} P^{j_1}_{i_1} ... P^{j_n}_{i_n} \mathbf R_{j_1} \otimes... \otimes \mathbf R_{j_n}$
Например, в случае поле тензора первого ранга (вектора) :
$\mathbf v=v^i \mathbf e_i=v^i P^j_i \mathbf R_j$

Ортогональные криволинейные координаты

В евклидовом пространстве особое значение имеет использование ортогональных криволинейных координат, поскольку формулы, имеющие отношение к длине и углам, выглядят в ортогональных координатах проще, нежели в общем случае. Что связано с тем, что метрическая матрица в системах с ортонормированным базисом будет диагональной, что существенно упростит расчёты.
В качестве примера таких систем можно привести сферическую систему в $R^2$

Коэффициенты Ламе

Выпишем дифференциал дуги в криволинейных координатах в виде (используется правило суммирования Эйнштейна):

$dS^2 = \left( \frac{\partial \varphi_1}{\partial q_i}\mathbf{dq}_i \right)^2 + \left( \frac{\partial \varphi_2}{\partial q_i}\mathbf{dq}_i \right)^2 + \left( \frac{\partial \varphi_3}{\partial q_i}\mathbf{dq}_i \right)^2 , ~ i=1,2,3$

Принимая во внимание ортогональность систем координат ($\mathbf{dq}_i \cdot \mathbf{dq}_j = 0$ при $i \ne j$) это выражение можно переписать в виде

$dS^2 = H_1^2dq_1^2 + H_2^2dq_2^2 + H_3^2dq_3^2,$

где

$H_i = \sqrt{\left(\frac{\partial \varphi_1}{\partial q_i}\right)^2 + \left(\frac{\partial \varphi_2}{\partial q_i}\right)^2 + \left(\frac{\partial \varphi_3}{\partial q_i}\right)^2};\ i=1,\;2,\;3$

Положительные величины $H_i\$, зависящие от точки пространства, именуются коэффициентами Ламе или масштабными коэффициентами. Коэффициенты Ламе показывают, сколько единиц длины содержится в единице координат данной точки и используются для преобразования векторов при переходе от одной системы координат к другой.

Тензор римановой метрики, записанный в координатах ${q_i}$, представляет из себя диагональную матрицу, на диагонали которой стоя́т квадраты коэффициентов Ламе:

$g_{ii} = {H_i}^2$ $g_{ij} = 0$ для i≠j

, то есть

$g_{ij} = \begin{pmatrix} {H_1}^2 & 0 & 0 \\ 0 & {H_2}^2 & 0 \\ 0 & 0 & {H_3}^2 \end{pmatrix}$

Примеры

Полярные координаты (n=2)

Основная статья: Полярные координаты

Полярные координаты на плоскости включают расстояние r до полюса (начала координат) и направление (угол) φ.

Связь полярных координат с декартовыми:

$\left\{\begin{matrix} x = r\cos{\varphi};\\ y = r\sin{\varphi}.\end{matrix}\right.$

Коэффициенты Ламе:

$\begin{matrix}H_r = 1; \\ H_\varphi = r. \end{matrix}$

Дифференциал дуги:

$dS^2\ =\ dr^2\ +\ r^2d\varphi^2.$

В начале координат функция φ не определена. Если координату φ считать не числом, а углом (точкой на единичной окружности), то полярные координаты образуют систему координат в области, полученной изо всей плоскости изъятием точки начала координат. Если всё-таки считать φ числом, то в означенной области оно будет многозначно, и построение строго в математическом смысле системы координат возможно лишь в односвязной области, не включающей начало координат, например, на плоскости без луча.

Цилиндрические координаты (n=3)

Основная статья: Цилиндрические координаты

Цилиндрические координаты являются тривиальным обобщением полярных на случай трёхмерного пространства путём добавления третьей координаты z. Связь цилиндрических координат с декартовыми:

$\left\{\begin{matrix} x = r\cos{\varphi};\\ y = r\sin{\varphi}. \\ z = z. \end{matrix}\right.$

Коэффициенты Ламе:

$\begin{matrix}H_r = 1; \\ H_\varphi = r; \\ H_z = 1. \end{matrix}$

Дифференциал дуги:

$dS^2\ =\ dr^2\ +\ r^2d\varphi^2 + dz^2.$

Сферические координаты (n=3)

Основная статья: Сферические координаты

Сферические координаты связаны с координатами широты и долготы на единичной сфере. Связь сферических координат с декартовыми:

$\left\{\begin{matrix} x = r\sin{\theta}\cos{\varphi};\\ y = r\sin{\theta}\sin{\varphi}; \\ z = r\cos{\theta}. \end{matrix}\right.$

Коэффициенты Ламе:

$\begin{matrix}H_r = 1; \\ H_\theta = r; \\ H_\varphi = r\sin{\theta}. \end{matrix}$

Дифференциал дуги:

$dS^2\ =\ dr^2\ +\ r^2d\theta^2 + r^2\sin^2{\theta}d\varphi^2.$

Сферические координаты, как и цилиндрические, не работают на оси z {x=0, y=0}, поскольку координата φ там не определена.

Различные экзотические координаты на плоскости (n=2) и их обобщения

Ортогональные:

• Эллиптические координаты — расширяются до 3 измерений
• Параболические координаты — расширяются до 3 измерений
• Биполярные координаты — расширяются до 3 измерений
• …

Прочие:

• Бицентрические координаты
• Биангулярные координаты

…

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Криволинейные координаты с точки зрения дифференциальной геометрии

Криволинейные координаты, определённые в различных областях евклидова (аффинного) пространства, можно рассматривать как применение к пространству понятия гладкого многообразия. А именно, как построение атласа карт.

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1974. — 832 с.