Счётное множество

Не следует путать с перечислимым множеством.

В теории множеств, счётное мно́жество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами. Более формально: множество $X$ является счётным, если существует биекция $X\leftrightarrow \mathbb{N}$ , где ${\mathbb N}$ обозначает множество всех натуральных чисел. Другими словами, счётное множество — это множество, равномощное множеству натуральных чисел.

Счётное множество является «наименьшим» бесконечным множеством, то есть в любом бесконечном множестве найдётся счётное подмножество. Мощность множества всех натуральных чисел обозначается символом $\alef_0$ (произносится: "алеф-нуль").

Свойства

1. Любое подмножество счётного множества не более чем счётно (т.е. конечно или счётно).^[1]
2. Объединение конечного или счётного числа счётных множеств счётно.^[1]
3. Прямое произведение конечного числа счётных множеств счётно.
4. Множество всех конечных подмножеств счётного множества счётно.
5. Множество всех подмножеств счётного множества континуально и, в частности, не является счётным.

Связанные понятия

Несчётное множество — такое бесконечное множество, которое не является счётным. Таким образом, любое множество является либо конечным, либо счётным, либо несчётным.

Примеры

Счётные множества

• Простые числа
• Натуральные числа
• Целые числа
• Рациональные числа
• Алгебраические числа
• Кольцо периодов
• Вычислимые числа
• Арифметические числа
• Множество всех конечных слов над конечным или счётным алфавитом
• Любое бесконечное семейство непересекающихся открытых интервалов на действительной оси
• Множество всех прямых на плоскости, каждая из которых содержит хотя бы 2 точки с рациональными координатами
• Любое бесконечное множество точек на плоскости, все попарные расстояния между элементами которого рациональны

Несчётные множества

• Вещественные числа
• Комплексные числа
• Числа Кэли

Примечания

1. ↑ ^{1 2} В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 62 — 63. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7

См. также

• Мощность множества