Числа Армстронга

Самовлюблённое число, или совершенный цифровой инвариант (англ. pluperfect digital invariant, PPDI) или число Армстронга — натуральное число, которое в данной системе счисления равно сумме своих цифр, возведённых в степень, равную количеству его цифр. Иногда чтобы считать число таковым, достаточно, чтобы степени, в которые возводятся цифры, были равны m — тогда число можно назвать m-самовлюблённым.

Например, десятичное число 153 — число Армстронга, потому что:

1³ + 5³ + 3³ = 153

Формальное определение

Пусть $n = \sum_{i = 1}^k d_ib^{i - 1}$ — число, записываемое $d_kd_{k-1}... d_1$ в системе счиления с основанием b.

Если при некотором m случится так, что $n = \sum_{i = 1}^k {d_i}^m$, то n является m-самовлюблённым числом. Если, сверх того, $m=k$, то n можно назвать истинным числом Армстронга.

Очевидно, что при любом m может существовать лишь конечное число m-самовлюблённых чисел, так как, начиная с некоторого k $k \cdot 9^k < 10^{k-1} - 1$.

Упоминания в литературе

В «Апологии математика (англ.)русск.» (англ. A Mathematician’s Apology), Г. Харди (англ.)русск. писал:

«Есть только четыре числа, исключая единицу, которые равны сумме кубов своих цифр:
$153=1^3+5^3+3^3$
$370=3^3+7^3+0^3$
$371=3^3+7^3+1^3$
и $407=4^3+0^3+7^3$.

Это необычный факт, очень удобный для головоломных разделов в газетах и для развлечения любителей, но в нём нет ничего, что бы привлекало к нему математиков»

Числа Армстронга в различных системах счисления

• Начальные числа Армстронга в десятичной системе счисления:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, … (последовательность A005188 в OEIS).

• В системе с основанием 3:

0, 1, 2, 12, 122, …

• В системе с основанием 4:

0, 1, 2, 3, 313, …

Похожие классы чисел

Иногда термином «самовлюблённые числа» называют любой тип чисел, которые равны некоторому выражению от их собственных цифр. Например, таковыми могут быть: совершенные и дружественные числа, числа Брауна, числа Фридмана, счастливые билеты и т. п.

Литература

• Joseph S. Madachy, Mathematics on Vacation, Thomas Nelson & Sons Ltd. 1966, стр. 163—175.

Внешние ссылки

• Weisstein, Eric W. Статья про самовлюблённые числа (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• последовательность A005188 в OEIS
• Narcissistic Numbers (англ.)(недоступная ссылка)
• Digital Invariants (англ.)

См. также

• Нарцисс (мифология), нарциссизм.