Первая теорема о среднем

Пусть функции f, g интегрируемы, $g\geqslant 0$, тогда существует число c: $m = \inf f\leqslant c \leqslant \sup f = M$ такое, что $\int\limits_X fgd\mu = c\int\limits_X gd\mu \,\!$

Очевидно, что если f непрерывна, то существует $x_0$, такая что $f(x_0)=c$.

Доказательство. $m \leqslant f \leqslant M \Rightarrow gm \leqslant gf \leqslant gM \Rightarrow m \int\limits_X g d\mu \leqslant \int\limits_X fg d\mu \leqslant M \int\limits_X g d\mu \Rightarrow$ $\exists c: \quad m \leqslant c \leqslant M: \quad \int\limits_X fgd\mu = c\int\limits_X gd\mu$

См. также

• Среднее значение функции
• Вторая теорема о среднем