Метрика пространства-времени

У этого термина существуют и другие значения, см. Метрика.

Схематическая двумерная иллюстрация искривления пространства-времени возле массивного тела

Метрика пространства-времени — 4-тензор, который определяет свойства пространства-времени в общей теории относительности.

Как правило, обозначается символом $g_{ij}$.

В инерциальной системе отсчёта матрица метрического тензора пространства-времени имеет вид

$\hat{g} = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrix} \right)$.

В неинерциальных системах отсчёта вид метрики пространства-времени изменяется и в общем зависит от точки пространства и момента времени.

Метрика пространства-времени задаёт искривление пространства, которое ощущает наблюдатель, который движется с ускорением. Так как за принципом эквивалентности наблюдатель никаким образом не может отличить неинерционность связанной с ним системы отсчёта от гравитационного поля, то метрика пространства-времени определяет также искривление пространства в поле массивных тел.

Пространственно-временной интервал выражается через метрику пространства-времени формулой

$ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j \,$.

Так как метрика задаёт превращения координат, то её называют также метрическим тензором.

Метрика пространства-времени используется для установления связи между ковариантными и контравариантными записями любого 4-вектора

$A_i = g_{ij}A^j \,$.

Свойства

Метрический тензор симметричный относительно своих индексов, то есть $g_{ij} = g_{ji}$. Это видно из общей формулы для квадрата дифференциала пространственно-временного интервала. Детерминант метрики пространства-времени, который обозначается через g, отрицательный.

Контравариантная форма метрического тензора связана с ковариантной с помощью полностью антисимметрического тензора четвёртого порядка

$E^{ijkl} = \frac{1}{\sqrt{-g}} e^{ijkl} \,$,

где $e^{ijkl}$ — обычный полностью антисимметрический тензор, определённый в инерционной системе отсчёта, то есть тензор, компоненты которого равны 1 или -1 и меняют знак при перестановке каких-либо двух индексов.

Таким образом

$g^{ij} = \frac{1}{\sqrt{-g}} e^{ijkl} g_{kl} \,$

Метрический тензор, как и какой-либо симметрический тензор, возможно выбором системы отсчёта свести к диагональному виду. Однако эта операция справедлива только к определённой точке пространства-времени и, в общем случае, не может быть проведена для всего пространства-времени.

Собственное время

Квадрат дифференциала пространственно-временного интервала для одной пространственной точки равен

$ds^2 = g_{00} (dx^0)^2 = c^2 d\tau^2$,

где с — скорость света в вакууме.

Величину

$\tau = \frac{1}{c}\int\sqrt{g_{00}} dx^0$

называют собственным временем для данной точки пространства.

Пространственный интервал

Квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками задаётся формулой

$dl^2 = \gamma_{\alpha\beta}dx^\alpha dx^\beta = \left( - g_{\alpha\beta} + \frac{g_{\alpha 0} g_{0\beta}}{g_{00}} \right) dx^\alpha dx^\beta$

Греческие индексы используются тогда, когда суммирование ведётся лишь по пространственным координатам. Тензор $\gamma_{\alpha\beta}$ есть метрическим тензором для трёхмерного пространства.

Интегрировать определённое таким образом расстояние нельзя, так как результат зависел бы от мировой линии, по которой бы велось интегрирование. Таким образом, в общей теории относительности понятия расстояния между далёкими объектами в трёхмерном пространстве теряет смысл. Единое исключение — ситуация, в которой метрический тензор $g_{ij}$ не зависит от времени.

См. также

• Статическая изотропная метрика

Внешние ссылки

• Ландау, Лев Давидович, Лифшиц, Евгений Михайлович Теоретическая физика. т. ІІ. Теория поля. — М.: Наука, 1974. — Т. 2.
• Г. А. Зисман. Метрика пространства-времени Значение слова "Метрика пространства-времени" в Большой советской энциклопедии. bse.sci-lib.com. Архивировано из первоисточника 2 апреля 2012. Проверено 10 июня 2009.
• en:General relativity resources