- Бета-распределение
-
Бета-распределение Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение Параметры
Носитель Плотность вероятности Функция распределения Математическое ожидание Медиана Мода для Дисперсия Коэффициент асимметрии Коэффициент эксцесса Информационная энтропия Производящая функция моментов Характеристическая функция
Бе́та-распределе́ние в теории вероятностей и статистике — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Используется для описания случайных величин, значения которых ограничены конечным интервалом.Содержание
Определение
Пусть распределение случайной величины задаётся плотностью вероятности , имеющей вид:
- ,
где
- произвольные фиксированные параметры, и
- — бета-функция.
Тогда случайная величина имеет бета-распределение. Пишут: .
Форма графика
Форма графика плотности вероятности бета-распределения зависит от выбора параметров и .
- — график выпуклый и уходит в бесконечность на границах (красная кривая);
- или — график строго убывающий (синяя кривая)
- — график строго выпуклый;
- — график является прямой линией;
- — график строго вогнутый;
- график совпадает с графиком плотности стандартного непрерывного равномерного распределения;
- или — график строго возрастающий (зелёная кривая);
- — график строго выпуклый;
- — график является прямой линией;
- — график строго вогнутый;
- — график унимодальный (пурпурная и чёрная кривые)
В случае, когда , плотность вероятности симметрична относительно (красная и пурпурная кривые), то есть
- .
Моменты
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины , имеющей бета-распределение, имеют вид:
- ,
- .
Связь с другими распределениями
- Стандартное непрерывное равномерное распределение является частным случаем бета-распределения:
- .
- Бета-распределение широко используется в байесовской статистике, так как оно является сопряжённым априорным распределением для распределения Бернулли, биномиального и геометрического распределений.
- Если — независимые гамма распределённые случайные величины, причём , а , то
- .
Одномерные Многомерные Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | дискретное равномерное мультиномиальное Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | гиперэкспоненциальное | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | логистическое | Накагами |Парето | полукруговое | непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | variance-gamma многомерное нормальное | копула Категория:- Непрерывные распределения
Wikimedia Foundation. 2010.