Бета-распределение


Бета-распределение
Бета-распределение
Плотность вероятности
Probability density function for the Beta distribution
Функция распределения
Cumulative distribution function for the Beta distribution
Обозначение \text{Be}(\alpha,\beta)
Параметры \alpha > 0
\beta > 0
Носитель x \in [0, 1]\!
Плотность вероятности \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\!
Функция распределения I_x(\alpha,\beta)\!
Математическое ожидание \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!
Медиана
Мода \frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\! для \alpha>1, \beta>1
Дисперсия \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!
Коэффициент асимметрии \frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}
Коэффициент эксцесса 6\,\frac{\alpha^3-\alpha^2(2\beta-1)+\beta^2(\beta+1)-2\alpha\beta(\beta+2)}
{\alpha \beta (\alpha+\beta+2) (\alpha+\beta+3)}\!
Информационная энтропия
Производящая функция моментов 1  +\sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k-1} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{t^k}{k!}
Характеристическая функция {}_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)\!


Бе́та-распределе́ние в теории вероятностей и статистике — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Используется для описания случайных величин, значения которых ограничены конечным интервалом.

Содержание

Определение

Пусть распределение случайной величины X задаётся плотностью вероятности f_X, имеющей вид:

f_X(x) = \frac{1}{\mathrm{B}(\alpha, \beta)}\, x^{\alpha - 1} (1-x)^{\beta - 1},

где

Тогда случайная величина X имеет бета-распределение. Пишут: X\!\sim \mathrm{B}(\alpha,\beta).

Форма графика

Форма графика плотности вероятности бета-распределения зависит от выбора параметров \alpha и \beta.

  • \alpha < 1,\ \beta < 1 — график выпуклый и уходит в бесконечность на границах (красная кривая);
  • \alpha < 1,\ \beta \geq 1 или \alpha = 1,\ \beta > 1 — график строго убывающий (синяя кривая)
    • \alpha = 1,\ \beta > 2 — график строго выпуклый;
    • \alpha = 1,\ \beta = 2 — график является прямой линией;
    • \alpha = 1,\ 1 < \beta < 2 — график строго вогнутый;
  • \alpha = 1,\ \beta = 1 график совпадает с графиком плотности стандартного непрерывного равномерного распределения;
  • \alpha = 1,\ \beta < 1 или \alpha > 1,\ \beta \leq 1 — график строго возрастающий (зелёная кривая);
    • \alpha > 2,\ \beta = 1 — график строго выпуклый;
    • \alpha = 2,\ \beta = 1 — график является прямой линией;
    • 1 < \alpha < 2,\ \beta = 1 — график строго вогнутый;
  • \alpha > 1,\ \beta > 1 — график унимодальный (пурпурная и чёрная кривые)

В случае, когда \alpha = \beta, плотность вероятности симметрична относительно 1/2 (красная и пурпурная кривые), то есть

f_X(x-1/2) = f_X(x+1/2),\; x\in [0,1/2].

Моменты

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, имеющей бета-распределение, имеют вид:

\mathbb{E}[X] = \frac{\alpha}{\alpha+\beta} ,
\mathrm{D}[X] = \frac{\alpha \beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}.

Связь с другими распределениями

Bvn-small.png  п·Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | дискретное равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | гиперэкспоненциальное | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | логистическое | Накагами |Парето | полукруговое | непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | variance-gamma многомерное нормальное | копула

Wikimedia Foundation. 2010.

Синонимы:

Смотреть что такое "Бета-распределение" в других словарях:

  • Бета распределение — Плотность вероятности Функция распределения Параметры α > 0 …   Википедия

  • бета-распределение — сущ., кол во синонимов: 1 • распределение (62) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 …   Словарь синонимов

  • бета-распределение — 1.45. бета распределение Распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которая может принимать любые значения от 0 до 1, включая границы, и плотность распределения которой при 0 £ x £ 1 и параметрах m1 > 0, m2 > 0, где Г… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • бета-распределение — Распределение вероятностей непрерывной случайной величины, принимающей значения на отрезке [0, 1], плотность которого задается формулой , где , a, b>0 и  – гамма функция. Примечание. Его частными случаями являются многие широко используемые… …   Словарь социологической статистики

  • распределение — См. план …   Словарь синонимов

  • Распределение Дирихле — В теории вероятностей и математической статистике распределение Дирихле (по имени Иогaнна Пeтера Гyстава Лежён Дирихлe) часто обозначаемое Dir(α) это семейство непрерывных многомерных вероятностных распределений параметризованных вектором α… …   Википедия

  • Бета — Бета: В Викисловаре есть статья «бета» Бета (буква) (β)  вторая буква греческого алфавита. Бета тестирование Бета коэффициент Бета функция (математика) Бета распределение (теория вероятностей …   Википедия

  • Распределение Стьюдента — Плотность вероятности …   Википедия

  • Распределение вероятностей — Распределение вероятностей  это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия. Содержание 1 Определение 2 Способы задания распределений …   Википедия

  • Распределение хи-квадрат — Распределение . Распределение Пирсона Плотность вероятности …   Википедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.