- Плотность вероятности
-
Пло́тность вероя́тности — один из способов задания вероятностной меры на евклидовом пространстве . В случае, когда вероятностная мера является распределением случайной величины, говорят о плотности случайной величины.
Содержание
Плотность вероятности
Пусть является вероятностной мерой на , то есть определено вероятностное пространство , где обозначает борелевскую σ-алгебру на . Пусть обозначает меру Лебега на .
Определение 1. Вероятность называется абсолютно непрерывной (относительно меры Лебега) (), если любое борелевское множество нулевой меры Лебега также имеет вероятность ноль:
Если вероятность абсолютно непрерывна, то согласно теореме Радона-Никодима существует неотрицательная борелевская функция такая, что
- ,
где использовано общепринятое сокращение , и интеграл понимается в смысле Лебега.
Определение 2. В более общем виде, пусть — произвольное измеримое пространство, а и — две меры на этом пространстве. Если найдется неотрицательная , позволяющая выразить меру через меру в виде
то такую функцию называют плотностью меры по мере , или производной Радона-Никодима меры относительно меры , и обозначают
- .
Свойства плотности вероятности
- Плотность вероятности определена почти всюду. Если является плотностью вероятности и почти всюду относительно меры Лебега, то и функция также является плотностью вероятности .
- Интеграл от плотности по всему пространству равен единице:
- .
Обратно, если — неотрицательная п.в. функция, такая что , то существует абсолютно непрерывная вероятностная мера на такая, что является её плотностью.
- Замена меры в интеграле Лебега:
- ,
где любая борелевская функция, интегрируемая относительно вероятностной меры .
Плотность случайной величины
Пусть определено произвольное вероятностное пространство , и случайная величина (или случайный вектор). индуцирует вероятностную меру на , называемую распределением случайной величины .
Определение 3. Если распределение абсолютно непрерывно относительно меры Лебега, то его плотность называется плотностью случайной величины . Сама случайная величина называется абсолютно непрерывной.
Таким образом для абсолютно непрерывной случайной величины имеем:
- .
Замечания
- Не всякая случайная величина абсолютно непрерывна. Любое дискретное распределение, например, не является абсолютно непрерывным относительно меры Лебега, а потому дискретные случайные величины не имеют плотности.
- Функция распределения абсолютно непрерывной случайной величины непрерывна и может быть выражена через плотность следующим образом:
- .
В одномерном случае:
- .
Если , то , и
- .
В одномерном случае:
- .
- Математическое ожидание функции от абсолютно непрерывной случайной величины может быть записано в виде:
- ,
где — борелевская функция, так что определено и конечно.
Плотность преобразования случайной величины
Пусть — абсолютно непрерывная случайная величина, и — инъективная непрерывно дифференцируемая функция такая, что , где — якобиан функции в точке . Тогда случайная величина также абсолютно непрерывна, и её плотность имеет вид:
- .
В одномерном случае:
- .
Примеры абсолютно непрерывных распределений
- Бета распределение;
- Распределение Вейбулла;
- Гамма распределение;
- Распределение Коши;
- Логнормальное распределение;
- Нормальное распределение;
- Непрерывное равномерное распределение
- Распределение Парето;
- Распределение Стьюдента;
- Распределение Фишера;
- Распределение хи-квадрат;
- Экспоненциальное распределение;
- Многомерное нормальное распределение.
См. также
Категории:- Теория вероятностей
- Статистическое управление процессом
Wikimedia Foundation. 2010.