- Плотность вероятности
-
Пло́тность вероя́тности — один из способов задания вероятностной меры на евклидовом пространстве
. В случае, когда вероятностная мера является распределением случайной величины, говорят о плотности случайной величины.
Содержание
Плотность вероятности
Пусть
является вероятностной мерой на
, то есть определено вероятностное пространство
, где
обозначает борелевскую σ-алгебру на
. Пусть
обозначает меру Лебега на
.
Определение 1. Вероятность
называется абсолютно непрерывной (относительно меры Лебега) (
), если любое борелевское множество нулевой меры Лебега также имеет вероятность ноль:
Если вероятность
абсолютно непрерывна, то согласно теореме Радона-Никодима существует неотрицательная борелевская функция
такая, что
,
где использовано общепринятое сокращение
, и интеграл понимается в смысле Лебега.
Определение 2. В более общем виде, пусть
— произвольное измеримое пространство, а
и
— две меры на этом пространстве. Если найдется неотрицательная
, позволяющая выразить меру
через меру
в виде
то такую функцию называют плотностью меры
по мере
, или производной Радона-Никодима меры
относительно меры
, и обозначают
.
Свойства плотности вероятности
- Плотность вероятности определена почти всюду. Если
является плотностью вероятности
и
почти всюду относительно меры Лебега, то и функция
также является плотностью вероятности
.
- Интеграл от плотности по всему пространству равен единице:
.
Обратно, если
— неотрицательная п.в. функция, такая что
, то существует абсолютно непрерывная вероятностная мера
на
такая, что
является её плотностью.
- Замена меры в интеграле Лебега:
,
где
любая борелевская функция, интегрируемая относительно вероятностной меры
.
Плотность случайной величины
Пусть определено произвольное вероятностное пространство
, и
случайная величина (или случайный вектор).
индуцирует вероятностную меру
на
, называемую распределением случайной величины
.
Определение 3. Если распределение
абсолютно непрерывно относительно меры Лебега, то его плотность
называется плотностью случайной величины
. Сама случайная величина
называется абсолютно непрерывной.
Таким образом для абсолютно непрерывной случайной величины имеем:
.
Замечания
- Не всякая случайная величина абсолютно непрерывна. Любое дискретное распределение, например, не является абсолютно непрерывным относительно меры Лебега, а потому дискретные случайные величины не имеют плотности.
- Функция распределения абсолютно непрерывной случайной величины
непрерывна и может быть выражена через плотность следующим образом:
.
В одномерном случае:
.
Если
, то
, и
.
В одномерном случае:
.
- Математическое ожидание функции от абсолютно непрерывной случайной величины может быть записано в виде:
,
где
— борелевская функция, так что
определено и конечно.
Плотность преобразования случайной величины
Пусть
— абсолютно непрерывная случайная величина, и
— инъективная непрерывно дифференцируемая функция такая, что
, где
— якобиан функции
в точке
. Тогда случайная величина
также абсолютно непрерывна, и её плотность имеет вид:
.
В одномерном случае:
.
Примеры абсолютно непрерывных распределений
- Бета распределение;
- Распределение Вейбулла;
- Гамма распределение;
- Распределение Коши;
- Логнормальное распределение;
- Нормальное распределение;
- Непрерывное равномерное распределение
- Распределение Парето;
- Распределение Стьюдента;
- Распределение Фишера;
- Распределение хи-квадрат;
- Экспоненциальное распределение;
- Многомерное нормальное распределение.
См. также
Категории:- Теория вероятностей
- Статистическое управление процессом
Wikimedia Foundation. 2010.