Четырёх-импульс

Четырёхи́мпульс, 4-и́мпульс — 4-вектор энергии-импульса, релятивистское обобщение классического трёхмерного вектора импульса (количества движения) на четырёхмерное пространство-время. Три компоненты классического вектора импульса $\vec {p} = (p_x, p_y, p_z)$ материальной точки при этом становятся тремя пространственными компонентами вектора четырёхимпульса. Временно́й компонентой вектора четырёхимпульса является (с точностью до множителя) полная энергия материальной точки.

$\begin{pmatrix} p_0 \\ p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} iE/c \\ p_x \\ p_y \\ p_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E/c \\ -\vec p \end{pmatrix}.$

Четырёхимпульс полезен при релятивистcких расчётах, поскольку он является ковариантным вектором Лоренца (четырёхвектором) и, следовательно, инвариантен при переходе в другую инерциальную систему отсчёта (его компоненты при этом изменяются в соответствии с преобразованиями Лоренца).

Квадрат четырёхимпульса

4-импульс и масса

Квадрат вектора четырёхимпульса точечной частицы является скалярным инвариантом, равным (с точностью до множителя $\! c^2$) квадрату массы частицы:

$\! p^2 = g_{\mu\nu} p^\mu p^\nu = m^2c^2,$

где c — скорость света, индексы $\mu,\nu = 0,...,3;\quad$ используется соглашение о суммировании по повторяющимся индексам.

Матрица g, входящая в скалярное произведение 4-вектора p на самого себя, является метрическим тензором пространства-времени. В специальной теории относительности используется метрика Минковского, особый вид матрицы $\! g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}$, отвечающий плоскому (неискривлённому) пространству-времени:

$\eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix};$ в этом случае $m^2c^2 = {E^2 \over c^2} - |\vec p|^2$

Таким образом, в СТО масса частицы не меняется при лоренцевских преобразованиях. Модуль четырёхимпульса $|p| = \sqrt{p^2} = mc$ для реальных частиц всегда неотрицателен (то есть 4-импульс всегда времениподобен или светоподобен; он мог бы быть отрицательным для гипотетических тахионов, движущихся быстрее света). Четырёхимпульс фотонов и других безмассовых частиц имеет нулевой модуль, для массивных частиц модуль положителен. В зависимости от соглашения о сигнатуре, модуль 4-импульса может быть определён с противоположным знаком.

Отношение к четырёхскорости

Для массивной частицы 4-импульс равен произведению её массы на четырёхскорость

$p_\mu = m \, \eta_{\mu\nu} U^\nu\!,$

где 4-скорость есть вектор

$\begin{pmatrix} U^0 \\ U^1 \\ U^2 \\ U^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma \\ \gamma v^x \\ \gamma v^y \\ \gamma v^z \end{pmatrix},$

а величина $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}$ — это фактор Лоренца.

Канонический импульс в пространстве в присутствии электромагнитного потенциала

Для применения в релятивисткой квантовой механике целесообразно определить «канонический» четырёхимпульс P_μ, который представляет собой сумму четырёхимпульса частицы и произведения её электрического заряда на четырёхвекторный потенциал электромагнитного поля:

$P_{\mu} = p_{\mu} + q A_{\mu} \!,$

где 4-потенциал является результатом комбинирования скалярного потенциала $\varphi$ и 3-векторного потенциала $\vec{A}:$

$\begin{pmatrix} A_0 \\ A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \varphi \\ -A_x \\ -A_y \\ -A_z \end{pmatrix}.$

Это указывает на потенциальную энергию заряженных частиц в электростатическом потенциале и на силу Лоренца, которая управляет движением заряженных частиц в магнитном поле, давая возможность включить их в уравнение Шрёдингера.

Литература

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7