Характеристическое число матрицы

Красным цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от синего, при деформации не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению λ = 1. Любой вектор, параллельный красному вектору, также будет собственным, соответствующим тому же собственному значению. Множество всех таких векторов (вместе с нулевым) образует собственное подпространство.

Определения собственного числа, собственного и корневого вектора линейного оператора

Пусть L — линейное пространство над полем K, $A\colon L \to L$ — линейное преобразование.

Собственным вектором линейного преобразования A называется такой ненулевой вектор $x \in L$, что для некоторого $\lambda \in K$

Ax = λx

Собственным значением линейного преобразования A называется такое число $\lambda \in K$, для которого существует собственный вектор, то есть уравнение Ax = λx имеет ненулевое решение $x \in L$.

Собственным подпространством линейного преобразования A для данного собственного числа $\lambda \in K$ называется множество всех собственных векторов $x \in L$, соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его E_λ. По определению,

$E_{\lambda}=\ker(A-\lambda \cdot E)$

где E — единичный оператор.

Корневым вектором линейного преобразования A для данного собственного значения $\lambda \in K$ называется такой ненулевой вектор $x \in L$, что для некоторого натурального числа m

$(A-\lambda \cdot E)^m x =0$

Если m является наименьшим из таких натуральных чисел (то есть $(A-\lambda \cdot E)^{m-1} x \neq 0$), то m называется высотой корневого вектора x.

Корневым подпространством линейного преобразования A для данного собственного числа $\lambda \in K$ называется множество всех корневых векторов $x \in L$, соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его V_λ. По определению,

$V_{\lambda}=\bigcup_{m=1}^{\infty}\ker(A-\lambda \cdot E)^m = \bigcup_{m=1}^{\infty}V_{m,\lambda},$

где $V_{m,\lambda}= \ker(A-\lambda \cdot E)^m$

Свойства собственных значений, собственных и корневых векторов и пространств

Общий случай

Подпространство $V \subset L$ называется инвариантным подпространством линейного преобразования A (A-инвариантным подпространством), если

$AV \subseteq V$.

• Собственные подпространства E_λ, корневые подпространства V_λ и подпространства V_m,λ линейного оператора A являются A-инвариантными.

• Собственные векторы являются корневыми (высоты 1): $E_{\lambda} \subseteq V_{\lambda}$;

• Корневые векторы могут не быть собственными: например, для преобразования двумерного пространства, заданного матрицей

$A= \begin{pmatrix} 1& 1\\ 0&1\end{pmatrix}$

(A − 1)² = 0, и все векторы являются корневыми, соответствующими собственному числу 1, но A имеет единственный собственный вектор (с точностью до умножения на число).

• Для разных собственных значений корневые (и, следовательно, собственные) подпространства имеют тривиальное (нулевое) пересечение:

$V_{\lambda} \bigcap V_{\mu}=\{0\}$ если $\lambda \neq \mu$.

Конечномерные линейные пространства

Выбрав базис в n-мерном линейном пространстве L, можно сопоставить линейному преобразованию $A\colon L \to L$ квадратную $n\times n$ матрицу и определить для неё характеристический многочлен

$P_A(\lambda)=\det (A-\lambda \cdot E) = \sum\limits_{k=0}^{n}a_k \lambda^k$.

• Характеристический многочлен не зависит от базиса в L. Его коэффициенты являются инвариантами оператора A. В частности, $a_0 = \det\,A$, $a_{n-1} = \operatorname{tr}\, A$ не зависят от выбора базиса.
• Собственные значения, и только они, являются корнями характеристического многочлена матрицы.
• Количество различных собственных значений не может превышать размер матрицы.

Пусть числовое поле алгебраически замкнуто (например, является полем комплексных чисел). Тогда характеристический многочлен разлагается в произведение n линейных множителей

$P_A(\lambda)=\prod_{i=1}^n(\lambda - \lambda_i )$

где $\lambda_i \; (i=1,\ldots,n )$ — собственные значения; некоторые из λ_i могут быть равны. Кратность собственного значения λ_i — это число множителей равных λ − λ_i в разложении характеристического многочлена на линейные множители (называется также алгебраическая кратность собственного значения).

• Размерность корневого пространства $V_{\lambda_i}$ равна кратности собственного значения.
• Векторное пространство L разлагается в прямую сумму корневых подпространств (по теореме о жордановой форме):

$L=\bigoplus_{\lambda_i}V_{\lambda_i}$

где суммирование производится по всем λ_i — собственным числам A.

• Геометрическая кратность собственного значения λ_i — это размерность соответствующего собственного подпространства $E_{\lambda_i}$; геометрическая кратность собственного значения не превосходит его кратности, поскольку $E_{\lambda_i} \subseteq V_{\lambda_i}$

Гильбертовы пространства над полем комплексных чисел и нормальные операторы

Наличие скалярного произведения позволяет выделить важные классы операторов, собственные значения и собственные векторы которых обладают рядом дополнительных полезных свойств.

Нормальным оператором называется оператор A, коммутирующий со своим сопряжённым A ^* :

AA ^* = A ^* A.

Частными классами нормальных операторов являются самосопряжённые (эрмитовы) операторы (A = A ^* ), антиэрмитовы операторы (A = − A ^* ) и унитарные операторы (A ^{− 1} = A ^* ), а также их вещественные варианты: симметричные операторы, антисимметричные операторы и ортогональные преобразования.

• Все корневые векторы нормального оператора являются собственными.

• Собственные векторы нормального оператора A, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. То есть если Ax = λx, Ay = μy и $\lambda \neq \mu$, то (x,y) = 0. (Для произвольного оператора это неверно.)

• Все собственные значения самосопряжённого оператора являются вещественными.

• Все собственные значения антиэрмитового оператора являются мнимыми.

• Все собственные значения унитарного оператора лежат на единичной окружности | λ | = 1.

• В конечномерном случае, сумма размерностей собственных подпространств нормального оператора $A\colon \C^n \to \C^n$, соответствующих всем собственным значениям, равна размерности матрицы, а векторное пространство разлагается в ортогональную сумму собственных подпространств:

$L=\bigoplus_{\lambda_i}E_{\lambda_i},$

где суммирование производится по всем λ_i — собственным числам A, а $E_{\lambda_i}$ взаимно ортогональны для различных λ_i.

• Последнее свойство для нормального оператора над $\C$ является характеристическим: оператор нормален тогда и только тогда, когда его матрица имеет диагональный вид в каком-нибудь ортонормированном базисе (в конечномерном случае).

Положительные матрицы

Квадратная вещественная $n \times n$ матрица A = (a_ij) называется положительной, если все её элементы положительны: a_ij > 0.

Теорема Перрона (частный случай теоремы Перрона-Фробениуса): Положительная квадратная матрица A имеет положительное собственное значение r, которое имеет алгебраическую кратность 1 и строго превосходит абсолютную величину любого другого собственного значения этой матрицы. Собственному значению r соответствует собственный вектор e_r, все координаты которого строго положительны. Вектор e_r — единственный собственный вектор A (с точностью до умножения на число), имеющий неотрицательные координаты.

Собственный вектор e_r может быть вычислен посредством прямых итераций: выберем произвольный начальный вектор v₀ с положительными координатами. Положим:

$v_{k+1} = \frac{A v_{k}}{\|A v_{k}\|}$

Последовательность v_k сходится к нормированному собственному вектору $e_r / \|e_r\|$.

Другая область применения метода прямых итераций — поиск собственных векторов положительно определённых симметричных операторов.

Литература

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1966. — 576 с.
• Уилкинсон Д. Х. Алгебраическая проблема собственных значений. — М.: Наука, 1970. — 564 с.