Формула Карно

Теоремы Карно — две теоремы эвклидовой геометрии, названные в честь Лазара Карно (1753—1823).

Первая теорема (более известна как формула Карно)

Первая теорема Карно:
DG + DH + DF = | DG | + | DH | − | DF | = R + r

Пусть дан произвольный треугольник ABC. Тогда сумма алгебраических расстояний (англ.) от центра описанной окружности D до сторон треугольника ABC будет равна DF + DG + DH = R + r, где r — радиус вписанной окружности, а R — описанной. Знак расстояния принимается отрицательным тогда и только тогда, когда отрезок DX (X = F, G, H) целиком лежит вне треугольника. В ее доказательстве используется теорема Птолемея.

Вторая теорема

Пусть дан треугольник АВС и точки А₁, В₁, С₁ на плоскости. Тогда перпендикуляры, опущенные из А₁, В₁, С₁ на ВС, АС, ВС соответственно, пересекаются в одной точке тогда и только тогда,xyй когда A₁B² − A₁C² + B₁C² − B₁A² + C₁A² − C₁B² = 0.

Следствие

Перпендикуляры, опущенные из А₁, В₁, С₁ на ВС, АС, ВС соответственно, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда перпендикуляры, опущенные из А, В, С на В₁С₁, А₁С₁, В₁С₁ соответственно, пересекаются в одной точке.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Carnot's theorem на сайте Wolfram MathWorld.(англ.)
• Вторая теорема Карно на ресурсе cut-the-knot