Формула Бине

Формула Бине — Коши — теорема об определителе произведения двух прямоугольных матриц, при условии, что оно является квадратной матрицей. Доказана в начале XIX века французскими математиками Ж. Бине и О. Коши.

Произведение двух прямоугольных матриц $\,A$ и $\,B$ дает квадратную матрицу порядка $\,m$, если $\,A$ имеет $\,n$ столбцов и $\,m$ строк, а матрица $\,B$ имеет $\,m$ столбцов и $\,n$ строк. Миноры матриц $\,A$ и $\,B$ одинакового порядка, равного наименьшему из чисел $\,n$ и $\,m$, называются соответствующими друг другу, если они стоят в столбцах (матрицы $\,A$) и строках (матрицы $\,B$) с одинаковыми номерами.

Определитель матрицы $AB\,$ равен нулю, если $\,n<m$, и равен сумме попарных произведений соответствующих друг другу миноров порядка $\,m$, если $n\geqslant m$ (сумма берется по всем наборам столбцов матрицы $\,A$ и строк матрицы $\,B$ с возрастающими номерами $i_1<i_2<\ldots<i_m$).

• В случае $\,n<m$ формула $|AB|=0\,$ очевидна. Действительно, так как столбцы матрицы $AB\,$ являются линейными комбинациями столбцов матрицы $\,A$, то в случае, когда число столбцов матрицы $AB\,$ больше числа столбцов матрицы $\,A$, матрица $AB\,$, очевидно, является вырожденной (то есть её определитель равен нулю).
• В случае $\,n=m$ формула Бине — Коши принимает хорошо известный вид: $\,|AB|=|A|\,|B|$.
• В случае $\,n>m$ доказательство формулы Бине — Коши более сложно.

Пример

Пусть

$A=\left(\begin{matrix} a_1 & a_2 & \ldots & a_n \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_n \\ \end{matrix}\right),\quad B =\left(\begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \vdots & \vdots \\ a_n & b_n \\ \end{matrix}\right).$

Тогда

$A\,B=\left(\begin{matrix} a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2 & a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n \\ a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n & b_1^2+b_2^2+\ldots+b_n^2 \\ \end{matrix}\right),$

и соответствующие миноры имеют вид

$\left|\begin{matrix} a_i & b_i \\ a_j & b_j \\ \end{matrix}\right|$

при всех $i<j$, принимающих значения от $1$ до $n$.

Формула Бине — Коши в этом случае дает равенство

$(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\ldots+b_n^2)-(a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n)^2=\sum_{i<j}(a_ib_j-a_jb_i)^2,$

из которого (в случае, когда все $a_i$ и $b_i$ являются вещественными числами) вытекает неравенство Коши — Буняковского:

$(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\ldots+b_n^2)\geqslant(a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n)^2.$

Литература

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1966.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — М.: Наука, 1984.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009.