- Унимодулярная группа
-
Модуль автоморфизма — вещественное положительное число, ставящееся в соответствие автоморфизму, локально компактной группы.
Если G — такая группа и A — некоторый автоморфизм группы G как топологической группы, то модуль автоморфизма а определяется формулой
- mod(A) = μA(S) / μS
где μ — левоинвариантная мера Хаара на группе G и S — любое компактное подмножество группы G положительной меры (причем mod(A) не зависит от выбора S).
Если G компактна или дискретна, то всегда mod(A) = 1, так как для компактной группы можно положить S = G, а для дискретной S = a, где a — любой элемент G. Если A и A' — два автоморфизма группы G, то
Если Γ — некоторая топологическая группа, которая непрерывно действует на группе G автоморфизмами, то mod определяет непрерывный гомоморфизм где — мультипликативная группа вещественных положительных чисел.
В частности, сопоставляя каждому элементу порождаемый им внутренний автоморфизм группы G и рассматривая модуль этого автоморфизма, получают непрерывный гомоморфизм G в группу . Этот гомоморфизм тривиален тогда и только тогда, когда левоинвариантная мера Хаара на группе G является одновременно и правоинвариантной. Группы, удовлетворяющие последнему условию, называются унимодулярными.
Wikimedia Foundation. 2010.