Полная проективная группа

Проективная группа от n переменных над телом K — группа PGL_n(K) преобразований (n − 1)-мерного проективного пространства P_{n − 1}(K), индуцированных невырожденными линейными преобразованиями пространства Kⁿ. Имеется естественный эпиморфизм

$P:GL_n(K)\to PGL_n(K)$,

ядром которого служит группа гомотетий пространства Kⁿ, изоморфная мультипликативной группе Z ^* центра Z тела K. Элементы группы PGL_n(K), называются проективными преобразованиями, являются коллинеациями пространства P_{n − 1}(K).

Свойства

• При $n\ge 2$ группа PSL_n(K) проста, за исключением двух случаев: когда n = 2 и | K | = 2 или 3.
• Если K — конечное поле из q элементов, то
      $|PSL_n(K)|=(q-1,n)^{-1}q^{n(n-1)/2}(q^n-1)(q^{n-1}-1)\cdots(q^2-1).$

Вариации и обобщения

Наряду с группой PGL_n(K), называемой также полной проективной группой, рассматривают унимодулярную проективную группу PSL_n(K) и вообще группы вида P(G), где G — некоторая линейная группа.

Литература

• Дьедонне Ж. Геометрия классических групп, пер. с франц., — М., 1974.