Неполнота математики

Теоремы Гёделя о неполноте — две теоремы математической логики о неполноте формальных систем определённого рода.

Первая теорема Гёделя о неполноте

Во всякой достаточно богатой непротиворечивой теории первого порядка[1] существует такая замкнутая формула $F\,$, что ни $F\,$, ни её отрицание $\neg F$ не являются выводимыми в этой теории.

Иначе говоря, в любой достаточно сложной непротиворечивой теории существует утверждение, которое средствами самой теории невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Например, такое утверждение можно добавить к системе аксиом, оставив её непротиворечивой. При этом для новой теории (с увеличенным количеством аксиом) также будет существовать недоказуемое и неопровержимое утверждение.

Теорема была доказана Куртом Гёделем в 1931 году.

Вторая теорема Гёделя о неполноте

Во всякой достаточно богатой непротиворечивой теории первого порядка[1] формула, утверждающая непротиворечивость этой теории, не является выводимой в ней.

Иными словами, непротиворечивость достаточно богатой теории не может быть доказана средствами этой теории. Однако вполне может оказаться, что непротиворечивость одной конкретной теории может быть установлена средствами другой, более мощной формальной теории. Но тогда встаёт вопрос о непротиворечивости этой второй теории, и т. д.

Эта теорема имеет широкие последствия как для математики, так и для философии, в частности, для онтологии и философии науки.

Примечания

1. ↑ ^{1 2} в частности, во всякой непротиворечивой теории, включающей формальную арифметику

См. также

• Теорема Гёделя о полноте
• Парадокс лжеца
• Недоказуемые утверждения
• Теорема Лёба
• Теорема Тарского о невыразимости истины
• Натуральные числа
• Формальная теория
• Дедуктивная теория

Ссылки

• В. А. Успенский Теорема Гёделя о неполноте. — М.: Наука, 1982. — 110 с. — (Популярные лекции по математике).
• Академик Ю. Л. Ершов «Доказательность в математике», программа А. Гордона от 16 июня 2003 года
• А. Б. Сосинский Теорема Геделя // летняя школа «Современная математика». — Дубна: 2006.
• П. Дж. Коэн Об основаниях теории множеств // Успехи математических наук. — 1974. — Т. 29. — № 5(179). — С. 169–176.
• М. Кордонский Конец истины. — ISBN 5-946448-001-04
• В. А. Успенский Теорема Гёделя о неполноте и четыре дороги, ведущие к ней // летняя школа «Современная математика». — Дубна: 2007.