Начальные условия

Начальные условия

В теории дифференциальных уравнений, начальные и граничные условия — дополнение к основному дифференциальному уравнению (обыкновенному или в частных производных), задающее его поведение в начальный момент времени или на границе рассматриваемой области соответственно.

Обычно дифференциальное уравнение имеет не одно решение, а целое их семейство. Начальные и граничные условия позволяют выбрать из него одно, соответствующее реальному физическому процессу или явлению. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений доказана теорема существования и единственности решения задачи с начальным условием (т. н. задачи Коши). Для уравнений в частных производных получены некоторые теоремы существования и единственности решений для определенных классов начальных и краевых задач.

Содержание

Терминология

Иногда к граничным относят и начальные условия в нестационарных задачах, таких как решение гиперболических или параболических уравнений.

Для стационарных задач существует разделение граничных условий на главные и естественные.

Главные условия обычно имеют вид u(\partial \Omega) = g, где \partial \Omega — граница области Ω.

Естественные условия содержат также и производную решения по нормали к границе.

Пример

Уравнение \frac{d^2 y}{dt^2}=-g описывает движение тела в поле земного тяготения. Ему удовлетворяет любая квадратичная функция вида y(t) = − gt2 / 2 + at + b, где a,b — произвольные числа. Для выделения конкретного закона движения необходимо указать начальную координату тела и его скорость, то есть начальные условия.

Корректность постановки граничных условий

Задачи математической физики описывают реальные физические процессы, а потому их постановка должна удовлетворять следующим естественным требованиям:

  1. Решение должно существовать в каком-либо классе функций;
  2. Решение должно быть единственным в каком-либо классе функций;
  3. Решение должно непрерывно зависеть от данных (начальных и граничных условий, свободного члена, коэффициентов и т.д.).

Требование непрерывной зависимости решения обусловливается тем обстоятельством, что физические данные, как правило, определяются из эксперимента приближенно, и поэтому нужно быть уверенным в том, что решение задачи в рамках выбранной математической модели не будет существенно зависеть от погрешности измерений. Математически это требование можно записать, например, так (для независимости от свободного члена):

Пусть задано два дифференциальных уравнения: Lu=F_1,~Lu=F_2 с одинаковыми дифференциальными операторами и одинаковыми граничными условиями, тогда их решения будут непрерывно зависеть от свободного члена, если:

\forall \delta>0~\exist\epsilon>0:~\|F_1-F_2\|<\delta\rightarrow\|u_1-u_2\|<\epsilon,~u_1,~u_2- решения соответствующих уравнений.

Множество функций, для которых выполняются перечисленные требования, называется классом корректности. Некорректную постановку граничных условий хорошо иллюстрирует пример Адамара.

См. также

Литература

Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X



Wikimedia Foundation. 2010.

Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "Начальные условия" в других словарях:

  • начальные условия — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999] начальные условия Начальное состояние в динамических моделях экономики — совокупность сложившихся к началу… …   Справочник технического переводчика

  • Начальные условия — [initial conditions] (начальное состояние) в динамических моделях экономики совокупность сложившихся к началу исследуемого (или планового) периода значений экономических переменных, последующие значения которых определяются в ходе решения задачи …   Экономико-математический словарь

  • начальные условия — [initial conditions] описание состояния тела перед деформацией. Обычно в начальный момент заданны эйлеровы координаты точек xi0 поверхности тела, напряжения, скорости, плотности, температуры в любой точке М тела. Дия области пространства,… …   Энциклопедический словарь по металлургии

  • начальные условия — pradinės sąlygos statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Sąlygos, apibūdinančios sistemą vyksmo pradžioje. atitikmenys: angl. initial conditions; starting conditions vok. Anfangsbedingungen, f rus. исходные условия, n;… …   Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

  • начальные условия — pradinės sąlygos statusas T sritis chemija apibrėžtis Sąlygos, apibūdinančios sistemą proceso pradžioje. atitikmenys: angl. initial conditions; starting conditions rus. исходные условия; начальные условия …   Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

  • начальные условия — pradinės sąlygos statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. initial conditions; starting conditions vok. Anfangsbedingungen, f rus. исходные условия, n; начальные условия, n pranc. conditions initiales, f …   Fizikos terminų žodynas

  • НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ — условия при постановке задачи Коши для дифференциальных уравнений. Для обыкновенного дифференциального уравнения, разрешенного относительно старшей производной: Н. у. состоят в задании производных (данных Коши) где произвольная фиксированная… …   Математическая энциклопедия

  • Независимые начальные условия — Независимые начальные условия  электрические параметры, которые не изменяются скачком в момент коммутации, то есть, остаются неизменными в начале переходного процесса в электрической цепи. Согласно законам коммутации, скачком не могут… …   Википедия

  • Начальные и граничные условия — В теории дифференциальных уравнений, начальные и граничные условия  дополнение к основному дифференциальному уравнению (обыкновенному или в частных производных), задающее его поведение в начальный момент времени или на границе… …   Википедия

  • Начальные и краевые условия — В теории дифференциальных уравнений, начальные и граничные условия дополнение к основному дифференциальному уравнению (обыкновенному или в частных производных), задающее его поведение в начальный момент времени или на границе рассматриваемой… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»