Наблюдатель полного порядка

Наблюдатель полного порядка

Система

\dot q(t)=F(t)q(t)+G(t)y(t)+H(t)u(t) (1)
z(t)=K(t)q(t)+L(t)y(t)+M(t)u(t)\! (2)

является наблюдателем для системы

\dot x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) (3),
y(t)=C(t)x(t)\! (4),

если для каждого начального состояния x(t_0)\! системы (3)-(4) существует начальное состояние q_0\! для системы (1)-(2), такое, что равенство q(t_0)=q_0\! приводит к z(t)=x(t), t \ge t_0 при всех управлениях u(t), t \ge t_0.

Здесь A(t), B(t), C(t), F(t), G(t), H(t), K(t), L(t), M(t)\! — матрицы соответствующей размерности.

Если размерность q(t)\! равна размерности x(t)\! и выполнение условия q(t_0)=x(t_0)\! дает q(t)=x(t), t \ge t_0 при всех управлениях u(t), t \ge t_0, то система (1) называется наблюдателем полного порядка для системы (3)-(4).

Набор дифференциальных уравнений (3) описывает изменение во времени состояния некоторой системы. n\!-мерный вектор x(t)\!, называемый вектором состояния, описывает состояние этой системы в момент времени t\!. r\!-мерный вектор u(t)\! описывает управляющие воздействия на систему и называется вектором управления или просто управлением.

l\!-мерный вектор y(t)\! представляет собой линейную комбинацию переменных состояния системы (3), которую мы можем измерить. Обычно l<n\!. y(t)\! называют наблюдаемой переменной.

Теорема 1. Система (1) является наблюдателем полного порядка для системы (3)-(4) тогда и только тогда, когда F(t)=A(t)-K(t)C(t)\!, G(t)=K(t)\!, H(t)=B(t)\!, где K(t)\! является произвольной переменной во времени матрицей соответствующей размерности. В результате наблюдатели полного порядка имеют следующую структуру:

\dot q(t)=A(t)q(t)+B(t)u(t)+K(t)[y(t)-C(t)q(t)] (5).

Матрица K(t)\! называется матрицей коэффициентов усиления наблюдателя. Наблюдатель полного порядка можно также представить в виде \dot q(t)=[A(t)-K(t)C(t)]q(t)+B(t)u(t)+K(t)y(t)], откуда следует, что устойчивость наблюдателя определяется поведением матрицы A(t)-K(t)C(t)\!.

В случае системы с постоянными параметрами, когда все матрицы в постановке задачи являются постоянными, включая матрицу коэффициентов усиления K\!, устойчивость наблюдателя следует из расположения характеристических чисел матрицы A-KC\!, называемых полюсами наблюдателя. Наблюдатель будет устойчив, если все его полюса расположены в левой половине комплексной плоскости.

Теорема 2. Рассмотрим наблюдатель полного порядка (5) для системы (3)-(4). Ошибка восстановления

e(t)=x(t)-q(t)\!

удовлетворяет дифференциальному уравнению

\dot e(t)=\left[A(t)-K(t)C(t)\right]e(t).

Ошибка восстановления обладает тем свойством, что

e(t) \to 0 при t \to 0

для всех e(t_0)\! тогда и только тогда, когда наблюдатель является асимптотически устойчивым.

Чем дальше в левой половине комплексной полуплоскости удалены полюса наблюдателя, тем быстрее сходится ошибка восстановления к нулю. Это достигается увеличением матрицы коэффициентов усиления K\!, однако это повышает чувствительность наблюдателя к шумам измерений, которые, возможно, присутствуют в наблюдаемой переменной y(t)\!.

Примечания

См. также

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Полезное


Смотреть что такое "Наблюдатель полного порядка" в других словарях:

  • Наблюдатель (динамические системы) — У этого термина существуют и другие значения, см. Наблюдатель. Система (1) (2) является наблюдателем для системы (3), (4), если для каждого начального состояния систем …   Википедия

  • Наблюдатель (теория управления) — Система (1) (2) является наблюдателем для системы (3), (4), если для каждого начального состояния системы (3) (4) существует начальное состояние …   Википедия

  • Матрица коэффициентов усиления наблюдателя — Система (1) (2) является наблюдателем для системы (3), (4), если для каждого начального состояния системы (3) (4) существует начальное состояние …   Википедия

  • Наблюдаемая переменная — Система (1) (2) является наблюдателем для системы (3), (4), если для каждого начального состояния системы (3) (4) существует начальное состояние …   Википедия

  • Полюс наблюдателя — Система (1) (2) является наблюдателем для системы (3), (4), если для каждого начального состояния системы (3) (4) существует начальное состояние …   Википедия

  • Белинский, Виссарион Григорьевич — — родился 30 мая 1811 года в недавно присоединенном к России Свеаборге, где его отец, Григорий Никифорович, служил младшим лекарем флотского экипажа. Фамилию свою Григорий Никифорович получил при поступлении в семинарию от своего учебного… …   Большая биографическая энциклопедия

  • Чёрная дыра — У этого термина существуют и другие значения, см. Чёрная дыра (значения). Изображение, полученное с помощью телескопа «Хаббл»: Активная галактика M87. В ядре галактики, предположительно, находится чёрная дыра. На сни …   Википедия

  • Спектральный анализ — Содержание статьи. I. Свечение тел. Спектр лучеиспускания. Солнечный спектр. Фраунгоферовы линии. Призматический и дифракционный спектры. Цветорассеяние призмы и решетки. II. Спектроскопы. Коленчатый и прямой спектроскоп à vision directe.… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Русская литература — I.ВВЕДЕНИЕ II.РУССКАЯ УСТНАЯ ПОЭЗИЯ А.Периодизация истории устной поэзии Б.Развитие старинной устной поэзии 1.Древнейшие истоки устной поэзии. Устнопоэтическое творчество древней Руси с X до середины XVIв. 2.Устная поэзия с середины XVI до конца… …   Литературная энциклопедия

  • Немецкая литература — Литература эпохи феодализма. VIII X века. XI XII века. XII XIII века. XIII XV века. Библиография. Литература эпохи разложения феодализма. I. От Реформации до 30 летней войны (конец XV XVI вв.). II От 30 летней войны до раннего Просвещения (XVII в …   Литературная энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»