Лапласа уравнение

Лапласа уравнение

Уравнение Лапласа — уравнение в частных производных. В трёхмерном пространстве уравнение Лапласа записывается так:

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0

и является частным случаем уравнения Гельмгольца.

Уравнение рассматривают также в двумерном и одномерном пространстве. В двумерном пространстве уравнение Лапласа записывается:

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}  = 0

Также и в n-мерном пространстве. В этом случае нулю приравнивается сумма n вторых производных.

С помощью дифференциального оператора

\triangle = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} + ...

— (оператора Лапласа) — это уравнение записывается (для любой размерности) одинаково как \triangle u = 0

В этом случае размерность пространства указывается явно (или подразумевается).

Уравнение Лапласа относится к эллиптическому виду. Функции, являющиеся решениями уравнения Лапласа, называются гармоническими функциями.

  • Замечание: всё сказанное выше относится к декартовым координатам в плоском пространстве (какова бы ни была его размерность). При использовании других координат представление оператора Лапласа меняется, и, соответственно, меняется запись уравнения Лапласа (пример — см. ниже). Эти уравнения также называются уравнением Лапласа, однако для устранения неоднозначности терминологии при этом обычно явно добавляется указание системы координат (и, при желании полной ясности, размерности), например: "двумерное уравнение Лапласа в полярных координатах).

Содержание

Другие формы уравнения Лапласа

В сферических координатах \ (r,\theta,\varphi) уравнение имеет вид

{1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
  \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0

В полярных координатах r, φ уравнение имеет вид

\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial ^2 u}{\partial \phi ^2} = 0

См. также оператор набла в различных системах координат.

Применение уравнения Лапласа

Уравнение Лапласа возникает во многих физических задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики.

Решения уравнения Лапласа

Несмотря на то, что уравнение Лапласа является одним из самых простых в математической физике, его решение сталкивается с трудностями. Особенно трудным бывает численное решение из-за нерегулярности функций и наличия особенностей.

Общее решение

Одномерное пространство

В одномерном вещественном пространстве уравнение Лапласа, сводящееся к равенству нулю второй производной, имеет общим решением линейную функцию:

f(x) = C1x + C2

где C1,C2 — произвольные постоянные.

Двумерное пространство

Общее решение уравнения Лапласа на двумерном пространстве называется аналитической функцией. Аналитические функции рассматриваются в теории функций комплексного переменного, и решение уравнения Лапласа можно свести к функции комплексного переменного.

Уравнение Лапласа для двух независимых переменных формулируется в следующем виде

\varphi_{xx} + \varphi_{yy} = 0.\,

Аналитические функции

Если z = x + iy, и

f(z) = u(x,y) + iv(x,y),\,

то условия Коши — Римана являются необходимыми и достаточными для того, чтобы функция f(z) была аналитической:

u_x = v_y, \quad v_x = -u_y.\,

И действительная и мнимая части аналитических функций удовлетворяют уравнению Лапласа. Продифференцировав условия Коши — Римана, получаем

u_{yy} = (-v_x)_y = -(v_y)_x = -(u_x)_x.\,

А это ни что иное, как уравнение Лапласа для функции u. Точно также показывается, что функция v удовлетворяет уравнению Лапласа.

Трёхмерное пространство

Функция Грина

Задача Дирихле

Задача Дирихле — краевые условия для уравнения Лапласа, когда искомая функция задана на ограниченной области, и известны её значения на границе.

Задача Неймана

Задача Неймана — в дифференциальных уравнениях краевая задача с заданными граничными условиями для производной искомой функции на границе области — так называемые граничные условия второго рода.

Ссылки

  • Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X
  • Дж. Шарма, К. Сингх Уравнения в частных производных для инженеров.



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Лапласа уравнение" в других словарях:

  • ЛАПЛАСА УРАВНЕНИЕ — дифференциальное ур ние с частными производными где u(х, у, z) ф ция независимых переменных х, у, z. Названо по имени франц. учёного П. Лапласа, применившего его в работах по тяготению (1782). К Л. у. приводят мн. задачи физики и механики, в к… …   Физическая энциклопедия

  • ЛАПЛАСА УРАВНЕНИЕ — дифференциальное уравнение с частными производными 2 го порядкагде, x, y, z независимые переменные, ?(x, y, z) искомая функция. Рассмотрено П. Лапласом (1782). К уравнению Лапласа приводят многие задачи математической физики (напр., распределение …   Большой Энциклопедический словарь

  • Лапласа уравнение — дифференциальное уравнение с частными производными 2 го порядка . Где х, у, z  независимые переменные, φ(х, у, z)  искомая функция. Рассмотрено П. Лапласом (1782). К Лапласа уравнению приводят многие задачи математической физики (например,… …   Энциклопедический словарь

  • ЛАПЛАСА УРАВНЕНИЕ — однородное дифференциальное уравнение с частными производными вида где функция от пдействительных переменных. Левая часть Л. у. наз. Лапласа оператором от функции и. Регулярные решения Л. у. класса С 2 в нек рой области Dевклидова пространства т …   Математическая энциклопедия

  • Лапласа уравнение —         дифференциальное уравнение с частными производными                   где х, у, z независимые переменные, а u = u(x, y, z) искомая функция. Это уравнение названо по имени П. Лапласа, рассмотревшего его в работах по теории тяготения (1782) …   Большая советская энциклопедия

  • ЛАПЛАСА УРАВНЕНИЕ — численные методы решения методы, заменяющие исходную краевую задачу дискретной задачей, содержащей конечное число N неизвестных, нахождение к рых с соответствующей точностью позволяет определить решение исходной задачи с заданной точностью… …   Математическая энциклопедия

  • ЛАПЛАСА УРАВНЕНИЕ — дифференц. ур ние с частными производными 2 го порядка где х, у, г независимые переменные, и (х, у, г) искомая ф ция. К Л. у. приводит ряд задач физики и техники; ему удовлетворяют, напр., установившаяся темп pa, электрич. потенциал внутри… …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • ЛАПЛАСА УРАВНЕНИЕ — дифференц. ур ние с частными производными 2 го порядка где х, у, z независимые переменные, ф(х, у, z) искомая функция. Рассмотрено П. Лапласом в 1782. К Л. у. приводят мн. задачи матем. физики (напр., распределение темп р в стационарном процессе) …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Уравнение Лапласа — Уравнение Лапласа  дифференциальное уравнение в частных производных. В трёхмерном пространстве уравнение Лапласа записывается так: и является частным случаем уравнения Гельмгольца. Уравнение рассматривают также в двумерном и одномерном… …   Википедия

  • Уравнение в частных производных — Дифференциальное уравнение в частных производных (общеупотребительно сокращение (Д)УЧП, также известны как уравнения математической физики, УМФ)  дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные… …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Лапласа уравнение» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»