Мультипликативная функция

В теории чисел, мультипликативная функция ― арифметическая функция $f(m)$, такая что

$f(m_1 m_2) = f(m_1)f(m_2)$ для любых взаимно простых чисел $m_1$ и $m_2$

$f(1)=1$

При выполнении первого условия, требование $f(1)=1$ равносильно тому, что функция $f(m)$ не равна тождественно нулю.

Следует отметить, что вне теории чисел под мультипликативной функцией понимают любую функцию $f$, определенную на некотором множестве $X$, такую что

$f(x_1 x_2) = f(x_1) f(x_2)$ для любых $x_1, x_2 \in X$.

В теории чисел такие функции, то есть функции $f(m)$, для которых условие мультипликативности выполнено для всех натуральных $m_1, m_2$, называются вполне мультипликативными.

Мультипликативная функция называется сильно мультипликативной, если

$f(p^\alpha) = f(p)$

для всех простых $p$ и всех натуральных $\alpha$.

Функция $f$ называется вполне мультипликативной тогда и только тогда, когда для любых натуральных $x,y$ выполняется соотношение $f(xy)=f(x)f(y)$.

Примеры

• Функция $\tau(m)$ ― число натуральных делителей натурального $m$.
• Функция $\sigma(m)$ ― сумма натуральных делителей натурального $m$.
• Функция Эйлера $\varphi(m)$.
• Функция Мёбиуса $\mu(m)$.
• Функция $\frac{\varphi(m)}{m}$ является сильно мультипликативной.
• Степенная функция $f(m)=m^\alpha$ является вполне мультипликативной.

Свойства

Если $f(m)$ — мультипликативная функция, то функция

$g(m) = \sum_{d|m} f(d)$

также будет мультипликативной. Обратно, если функция $g(m)$, определенная этим соотношением является мультипликативной, то и исходная функция $f(m)$ также мультипликативна.

Более того, если $f(m)$ и $g(m)$ — мультипликативные функции, то мультипликативной будет и их свертка Дирихле

$h(m) = \sum_{d|m} f(d) g\left(\frac{m}{d}\right)$

Литература

• Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник Конкретная математика. — М.: «Мир», 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3

См. также

• Арифметическая функция