- Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях
-
Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях: если целая функция
комплексных переменных
ограничена, то есть
то
есть константа.
Обобщения
- Если
― целая функция в
и для некоторого
,
-
- то
есть многочлен по переменным
степени не выше
.
- Если
― вещественная гармоническая функция во всём числовом пространстве
,
-
- то
есть гармонический многочлен по переменным.
История
Это предложение, одно из основных в теории аналитических функций, впервые, по-видимому, было опубликовано в 1844 Коши для случая
. Лиувилль излагал его на лекциях в 1847, откуда и произошло название.
Доказательство (для случая
)
Пусть
ограничена на комплексной плоскости, то есть
Воспользуемся интегральной формулой Коши для производной
Где
— окружность радиуса
, содержащая точку
.
Имеем
Отсюда, в силу того, что интегральная формула Коши справедлива для любого контура, имеем
А значит
и, следовательно,
является константой. Теорема доказана.
Для улучшения этой статьи по математике желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
- Добавить иллюстрации.
Категории:- Теоремы
- Комплексный анализ
Wikimedia Foundation. 2010.