- Теория кос
-
Теория кос — раздел топологии и алгебры, изучающий косы и группы кос, составленные из их классов эквивалентности.
Содержание
Определение косы
Коса из
нитей — объект, состоящий из двух параллельных плоскостей
и
в трёхмерном пространстве
, содержащих упорядоченные множества точек
и
, и из
непересекающихся между собой простых дуг
, пересекающих каждую параллельную плоскость
между
и
однократно и соединяющих точки
с точками
.
Обычно считается, что точки
лежат на прямой
в
, а точки
на прямой
в
, параллельной
, причем
расположены под
для каждого
.
Косы изображаются в проекции на плоскость, проходящую через
и
, эта проекция может быть приведена в общее положение так, что имеется только конечное число двойных точек, попарно лежащих в разных уровнях, и пересечения трансверсальны.
Группа кос
Во множестве всех кос с n нитями и с фиксированными
вводится отношение эквивалентности. Оно определяется гомеоморфизмами
, где
— область между
и
, тождественными на
. Косы
и
эквивалентны, если существует такой гомеоморфизм
, что
.
Классы эквивалентности, далее также называемые косами, образуют группу кос
. Единичная коса класс эквивалентности, содержащий косу из n параллельных отрезков. Коса
, обратная косе
, определяется отражением в плоскости
Нить косы соединяет
с
и определяет подстановку, элемент симметрической группы
. Если эта подстановка тождественна, то коса называется крашеной (или чистой) косой. Это отображение задаёт эпиморфизм
на группу
перестановок n элементов, ядром которого является подгруппа
, соответствующая всем чистым косам, так что имеется короткая точная последовательность
См. также
Литература
- Сосинский А., Косы и узлы. Квант № 2, 1989, стр. 6-14
Категории:- Маломерная топология
- Теория узлов
Wikimedia Foundation. 2010.