Теорема разложения Гельмгольца

Теорема разложения Гельмгольца — утверждение о разложении произвольного дифференцируемого векторного поля на две компоненты:

Если дивергенция и ротор векторного поля $\mathbf{F}(\mathbf{r})$ определены в каждой точке конечной открытой области V пространства, то всюду в V функция может быть представлена в виде суммы безвихревого поля $\mathbf{F}_1(\mathbf{r})$ и соленоидального поля $\mathbf{F}_2(\mathbf{r})$: $\mathbf{F}(\mathbf{r})=\mathbf{F}_1(\mathbf{r})+\mathbf{F}_2(\mathbf{r}),$ где $\operatorname{rot}\;\mathbf{F}_1 (\mathbf{r}) =0 ,$ $\operatorname{div}\,\mathbf{F}_2 (\mathbf{r}) = 0$ для всех точек $\mathbf{r}$ области V.

Формулировка теоремы

Пусть F — векторное поле в R³, и пусть оно дважды непрерывно дифференцируемо и убывает быстрее чем 1/r на бесконечности в случае неограниченной области.^[1] Тогда поле F представимо в виде суммы безвихревого поля (ротор которого равен нулю) и соленоидального поля (дивергенция которого равна нулю).

Одно из возможных представлений для векторного поля F в такой форме имеет вид суммы градиента и ротора двух явно вычислимых функций, как написано ниже:

$\mathbf{F} = - \nabla\,(\mathcal{G} (\nabla \cdot \mathbf{F})) + \nabla \times (\mathcal{G}(\nabla \times \mathbf{F})),$

где $\mathcal{G}$ — это оператор ньютониан (если он действует на векторное поле вроде ∇ × F, он действует на каждую его компоненту).

Если F имеет нулевую дивергенцию, ∇·F = 0, то F называется соленоидальным или бездивергентным, и разложение Гельмгольца поля F сокращается до

$\mathbf{F} = \nabla \times \mathcal{G}(\nabla \times \mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{A}.$

В случае такого представлении поля A называется векторным потенциалом поля F. Для соленоидального поля (то есть поля с нулевой дивергенцией) всегда можно построить вектор-функцию (векторный потенциал), ротором которого данное поле является. Векторный потенциал для заданного соленоидального поля определяется со значительной степенью свободы. В частности, без ограничения общности на него можно наложить условие кулоновской калибровки (или нормировки) ∇·A = 0 (частный случай бездивергентного векторного потенциала, см. также ниже задачу о восстановлении вектор-функции по ротору и дивергенции). К векторному потенциалу можно свободно добавить градиент любой скалярной функции — от этого его ротор, то есть определяемое им соленоидальное поле, не меняется (а если указанная скалярная функция удовлетворяет уравнению Лапласа, то не меняется также и условие кулоновской калибровки, когда векторный потенциал ему удовлетворяет).

В случае, если F имеет нулевой ротор, ∇×F = 0, то F называется безвихревым или локально потенциальным полем, а разложение F принимает вид

$\mathbf{F} = - \nabla\,\mathcal{G} (\nabla \cdot \mathbf{F}) = - \nabla \phi.$

В случае такого представления поля φ называется скалярным потенциалом поля F. Для безвихревого поля (то есть поля с нулевым ротором) всегда можно построить скалярную функцию (скалярный потенциал), градиентом которого данное поле является. Скалярный потенциал для заданного безвихревого поля определяется с точностью до аддитивной константы.

В общем случае F представимо суммой

$\mathbf{F} = -\nabla \phi + \nabla \times \mathbf{A}$,

где отрицательный градиент скалярного потенциала — безвихревая компонента поля, а ротор векторного потенциала — соленоидальная. Представление F в виде суммы безвихревого поля и соленоидального поля не является единственным, поскольку к φ всегда можно прибавить произвольную функцию ψ, удовлетворяющую уравнению Лапласа, а к A — согласованную с ψ вектор-функцию H, являющуюся результатом решения задачи о восстановлении вектор-функции по ротору и дивергенции (см. ниже) в соответствии с уравнениями ∇·H = 0, ∇×H = ∇ψ. Такая подстановка не только меняет скалярный и векторный потенциалы, участвующие в разложении Гельмгольца, но и существенным образом меняет безвихревое поле -∇(φ+ψ) и соленоидальное поле ∇×(A+H), на сумму которых распадается поле F.

Поля, определенные ротором и дивергенцией

С теоремой Гельмгольца тесно связана задача о восстановлении векторного поля по дивергенции и ротору, которую иногда называют задачей Гельмгольца.

Пусть дано скалярное поле   $\mathbf{d}(x,y,z)$   и векторное поле   $\mathbf{C}(x,y,z)$,   которые достаточно гладки и либо заданы в ограниченной области, либо убывают быстрее 1/r² на бесконечности. Требуется найти такое векторное поле   $\mathbf{F}(x,y,z)$,   что

$\nabla\cdot\mathbf{F}=\mathbf{d}$      и      $\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{C}.$

При анализе существования и единственности решения задачи следует различать:

1. внутреннюю задачу (ротор, дивергенция и сама вектор-функция рассматриваются внутри ограниченной области, имеющей достаточно гладкую границу),
2. внешнюю задачу (ротор, дивергенция и сама вектор-функция рассматриваются для пространства R³ с вырезанной «дыркой», имеющей достаточно гладкую границу),
3. задачу для всего пространства R³.

Внутренняя задача имеет однозначное решение, если вдоль границы области задана нормальная проекция    $(\mathbf{n}\cdot\mathbf{F})|_{S}=\mathbf{g}(\mathbf{S})$   для вектор-функции $\mathbf{F}$.

Внешняя задача имеет однозначное решение, если вдоль границы области задана нормальная проекция    $(\mathbf{n}\cdot\mathbf{F})|_{S}=\mathbf{g}(\mathbf{S})$   для вектор-функции $\mathbf{F}$, и на вектор-функцию $\mathbf{F}$ наложено требование, что она убывает на бесконечности по крайней мере как   $\mathbf{1/r}^{2+\varepsilon}$.

Задача для всего пространства R³ имеет однозначное решение, если на вектор-функцию $\mathbf{F}$ наложено требование, что она убывает на бесконечности по крайней мере как   $\mathbf{1/r}^{2+\varepsilon}$.

Во всех этих случаях решение задачи Гельмгольца единственно, если оно существует.

Необходимые условия существования решения

Задача имеет решение не при всех   $\mathbf{d}(x,y,z)$,   $\mathbf{C}(x,y,z)$   и   $\mathbf{g(S)}$  :

1. Из тождества   $\nabla \cdot \nabla \times \mathbf{F} \equiv 0$   следует, что должно быть выполнено условие   $\nabla \cdot \mathbf{C}=0$,   то есть дивергенция вектора   $\mathbf{C}(x,y,z)$   обязана быть равной нулю.
2. Для внутренней задачи из тождества   $\iiint_{V} (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \iint_{S} (\mathbf{n}\cdot\mathbf{F})\,dS$   следует, что   $\iiint_{V} \mathbf{d(x,y,z)}\,dV = \iint_{S} \mathbf{g(S)}\,dS$,   то есть интеграл от краевого условия   $\mathbf{g(S)}$   по ограничивающей поверхности   $\mathbf{S}$   должен быть равен интегралу от функции   $\mathbf{d}(x,y,z)$   по объему области.
3. Для внешней задачи и для задачи, заданной для всего пространства R³, функции   $\mathbf{d}$    и     $\mathbf{C}$   должны достаточно быстро стремиться к нулю на бесконечности вместе с самой функцией.

Достаточные условия существования и единственности решения

A. Внутренняя задача: если

1. $\nabla \cdot \mathbf{C(x,y,z)}=0$   и  
2. $\iiint_{V} \mathbf{d(x,y,z)}\,dV = \iint_{S} \mathbf{g(S)}\,dS$,  

то решение задачи восстановления поля   $\mathbf{F}(x,y,z)$   по ротору   $\mathbf{C}(x,y,z)$,   дивергенции   $\mathbf{d}(x,y,z)$   и граничному условию   $\mathbf{g(S)}$   существует и единственно.

Б. Внешняя задача: если

1. $\nabla \cdot \mathbf{C(x,y,z)}=0$   и  
2. интегралы $\iiint_{V} \frac{\mathbf{d}(x',y',z')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}\,dV'$   и   $\iiint_{V} \frac{\mathbf{C}(x',y',z')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}\,dV'$   сходятся при интегрировании по бесконечному объему и убывают на бесконечности при   $\mathbf{r}\to\infty$   по крайней мере как   $\mathbf{1/r}^{1+\varepsilon}$,  

то решение задачи восстановления поля   $\mathbf{F}(x,y,z)$   по ротору   $\mathbf{C}(x,y,z)$,   дивергенции   $\mathbf{d}(x,y,z)$,   граничному условию   $\mathbf{g(S)}$   и условию, что   $\mathbf{F}(x,y,z)$   спадает на бесконечности по крайней мере как   $\mathbf{1/r}^{2+\varepsilon}$,   существует и единственно.

В. Задача для всего пространства R³: если

1. $\nabla \cdot \mathbf{C(x,y,z)}=0$   и  
2. интегралы $\iiint_{V} \frac{\mathbf{d}(x',y',z')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}\,dV'$   и   $\iiint_{V} \frac{\mathbf{C}(x',y',z')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}\,dV'$   сходятся при интегрировании по бесконечному объему и убывают на бесконечности при   $\mathbf{r}\to\infty$   по крайней мере как   $\mathbf{1/r}^{1+\varepsilon}$,  

то решение задачи восстановления поля   $\mathbf{F}(x,y,z)$   по ротору   $\mathbf{C}(x,y,z)$,   дивергенции   $\mathbf{d}(x,y,z)$   и условию, что   $\mathbf{F}(x,y,z)$   спадает на бесконечности по крайней мере как   $\mathbf{1/r}^{2+\varepsilon}$,   существует и единственно.

Разрешимость и однозначность решения задачи Гельмгольца тесно связана с разрешимостью и однозначностью решения задачи Неймана для уравнения Лапласа в той же самой области (см. далее алгоритм конструирования решения задачи Гельмгольца).

Разложение векторного поля на сумму безвихревого поля и соленоидального поля

С помощью задачи о восстановлении вектор-функции по ротору и дивергенции, разложение векторного поля   $\mathbf{F}(x,y,z)$   на сумму безвихревого поля и соленоидального поля может быть выполнено следующим образом:

1) Для заданной вектор-функции   $\mathbf{F}$   вычисляются: функция   $\mathbf{C} = \nabla \times \mathbf{F}$,   функция   $\mathbf{d} = \nabla \cdot \mathbf{F}$,   краевое условие   $\mathbf{g}(\mathbf{S})=(\mathbf{n}\cdot\mathbf{F})|_{S}$,   если вектор-функция   $\mathbf{F}$   задана для подобласти пространства R³ с границей S.

2) Когда речь идёт о внутренней задаче, то из тождества   $\iiint_{V} (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV \equiv \iint_{S} (\mathbf{n}\cdot\mathbf{F})\,dS$,   следует условие совместности   $\iiint_{V} \mathbf{d}(x,y,z)\,dV = \iint_{S} \mathbf{g(S)}\,dS$.   Поэтому все условия совместности входных данных для задачи   $\nabla\cdot\mathbf{F_1} = \mathbf{d}$   и   $\nabla\times\mathbf{F_1} = 0$   с краевым условием   $\mathbf{g}(\mathbf{S})$   выполнены, задача разрешима и имеет единственное решение. Полученная вектор-функция   $\mathbf{F_1}$   является безвихревым полем.

3) Поскольку   $\nabla\cdot\mathbf{C} = \nabla\cdot\nabla \times \mathbf{F}\equiv 0$,   условия совместности входных данных для задачи   $\nabla\cdot\mathbf{F_2} = 0$   и   $\nabla\times\mathbf{F_2} = \mathbf{C}$   с нулевым краевым условием выполнены, задача разрешима и имеет единственное решение. Полученная вектор-функция   $\mathbf{F_2}$   является соленоидальным полем.

4) Рассмотрим задачу   $\nabla\cdot\mathbf{F_3} = \mathbf{d}$,     $\nabla\times\mathbf{F_3} = \mathbf{C}$   с краевым условием   $\mathbf{g}(\mathbf{S})$.   Условия совместности входных данных выполнены, задача разрешима и имеет единственное решение. При этом с одной стороны, решением данной задачи является сама функция   $\mathbf{F}$,   а с другой стороны, решением этой же задачи является функция   $\mathbf{F_1}+\mathbf{F_2}$.   Значит,   $\mathbf{F}\equiv\mathbf{F_1}+\mathbf{F_2}$,   искомое представление поля   $\mathbf{F}$   как суммы безвихревого поля и соленоидального поля построено.

Построенное представление векторного поля в виде суммы двух полей не является единственным. Существуют векторные поля, которые одновременно являются и безвихревыми (ротор равен нулю), и соленоидальными (дивергенция равна нулю). Эти поля — градиенты скалярных функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа (и только они). Прибавляя любое такое поле к первому слагаемому и вычитая его из второго слагаемого, получим новое разбиение векторного поля на сумму безвихревого и соленоидального поля.

Восстановление вектор-функции по ротору и дивергенции

Решение задачи о восстановлении функции по ротору, дивергенции и краевому условию может быть построено следующим образом:

1) Для заданной функции   $\mathbf{d}(x,y,z)$   вычисляется функция   $\mathbf{F_1}(x,y,z)=\nabla \mathbf{U}$,   где скалярный потенциал   $\mathbf{U}(x,y,z)$   вычисляется по формуле

  $\mathbf{U}(x,y,z)=-\frac{1}{4\pi}\iiint_V \frac{\mathbf{d}(x',y',z')}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}}dx'dy'dz'$.  

В результате получается функция   $\mathbf{F_1}(x,y,z)$,   у которой   $\nabla \cdot \mathbf{F_1}(x,y,z)=\mathbf{d}(x,y,z)$   и   $\nabla \times \mathbf{F_1}(x,y,z)=0$;  

2) Для заданной функции   $\mathbf{C}(x,y,z)$   вычисляется функция   $\mathbf{F_2}(x,y,z)=\nabla \times \mathbf{A}$,   где векторный потенциал   $\mathbf{A}(x,y,z)$   вычисляется по формуле

  $\mathbf{A}(x,y,z)=+\frac{1}{4\pi}\iiint_V \frac{\mathbf{C}(x',y',z')}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}}dx'dy'dz'$.  

В результате получается функция   $\mathbf{F_2}(x,y,z)$,   у которой   $\nabla \cdot \mathbf{F_2}(x,y,z)=0$   и   $\nabla \times \mathbf{F_2}(x,y,z)=\mathbf{C}(x,y,z)$;  

3) Ищется функция   $\mathbf{F_3}(x,y,z)$,   у которой   $\nabla \cdot \mathbf{F_3}(x,y,z)=0$,     $\nabla \times \mathbf{F_3}(x,y,z)=0$,   а нормальная проекция на границе области   $(\mathbf{n}\cdot\mathbf{F_3})|_{S}$   выбрана таким образом, чтобы   $\mathbf{F}=\mathbf{F_1}+\mathbf{F_2}+\mathbf{F_3}$   удовлетворяла граничному условию   $(\mathbf{n}\cdot\mathbf{F})|_{S}=\mathbf{g}(\mathbf{S})$.  

Чтобы найти такую функцию   $\mathbf{F_3}(x,y,z)$,   делается подстановка   $\mathbf{F_3}(x,y,z)=\nabla \mathbf{H}$,   где скалярный потенциал   $\mathbf{H}(x,y,z)$   должен удовлетворять уравнению Лапласа   $\Delta\mathbf{H}=0$.   Для функции   $\mathbf{H}(x,y,z)$   получается краевое условие Неймана   $\left.\frac{\partial\mathbf{H}}{\partial\mathbf{n}}\right|_{S}=\mathbf{g(S)}-(\mathbf{n}\cdot(\mathbf{F_1+F_2}))$,    причем легко проверить, что критерий разрешимости задачи Неймана будет выполнен. Поэтому функция   $\mathbf{H}(x,y,z)$   всегда существует, определяется единственным образом для внешней задачи, и с точностью до аддитивной константы для внутренней задачи. В результате нужная нам функция   $\mathbf{F_3}(x,y,z)$   всегда существует и единственна.

Функция   $\mathbf{F}(x,y,z)=\mathbf{F_1}(x,y,z)+\mathbf{F_2}(x,y,z)+\mathbf{F_3}(x,y,z)$   является решением для поставленной задачи, причём единственным. Если граничное условие не задано, решением задачи являются все возможные функции вида   $\mathbf{F}(x,y,z)=\mathbf{F_1}(x,y,z)+\mathbf{F_2}(x,y,z)+\mathbf{F_3}(x,y,z)$,   где   $\mathbf{F_3}(x,y,z)$,   есть градиент любой функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа. Если задача ставится во всём пространстве R³, решением (единственным) будет функция   $\mathbf{F}(x,y,z)=\mathbf{F_1}(x,y,z)+\mathbf{F_2}(x,y,z)$,   обладающая нужным поведением на бесконечности.

Альтернативная формулировка теоремы Гельмгольца

В результате теорема Гельмгольца может быть переформулирована в следующих терминах. Пусть C — соленоидальное векторное поле (div C=0), а d — скалярное поле в R³, которые достаточно гладки и либо заданы в ограниченной области, либо убывают быстрее 1/r² на бесконечности. Тогда существует векторное поле F такое, что

$\nabla \cdot \mathbf{F} = d$   и   $\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{C}.$

Если к тому же векторное поле F рассматривается во всем пространстве R³ и исчезает при r → ∞, тогда F единственно.^[1] В общем же случае решение определяется с точностью до аддитивной добавки — градиента произвольной функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа.

Другими словами, при определенных условиях векторное поле может быть построено по его ротору и дивергенции, причем когда задача определена во всем пространстве R³, решение однозначно (при априорном предположении, что поле исчезает на бесконечности достаточно быстро). Эта теорема имеет огромное значение в электростатике, например уравнения Максвелла в статическом случае описывают поля как раз этого типа.^[1] Как уже было написано выше, одно из возможных решений:

$\mathbf{F} = - \nabla\,(\mathcal{G} (d)) + \nabla \times (\mathcal{G}(\mathbf{C})).$

См. также

• Векторное поле
• Векторный анализ
• Формулы векторного анализа
• Соленоидальное векторное поле

Примечания

1. ↑ ^{1 2 3} David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice-Hall, 1989, p. 56.

Литература

• Кочин Н. Е. — Векторное исчисление и начала тензорного анализа
• Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — С. 177.