Теорема об отношении площадей треугольников с равным углом

Геометрический чертеж к теореме

Теорема об отношении площадей треугольников с равным углом — одна из теорем геометрии треугольника.

Формулировка теоремы:

Площади треугольников, имеющих равный угол, относятся как произведения сторон, содержащих этот угол

То есть, используя обозначения чертежа, ?A=?A₁ ? $\frac{S}{S_1}=\frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1}$.

Доказательство  

Геометрический чертеж к теореме

1) Наложим $\bigtriangleup A_1B_1C_1$ на $\bigtriangleup ABC$ так, чтобы вершина A₁ совпала с A, а стороны A₁B₁ и A₁C₁ наложились соответственно на лучи AB и AC.

2) $\bigtriangleup ABC$ и $\bigtriangleup AB_1C$ имеют общую высоту CH, поэтому

$\frac{S}{S_{AB_1C}} = \frac{AB}{AB_1}$.

$\bigtriangleup AB_1C$ и $\bigtriangleup AB_1C_1$ также имеют общую высоту B₁H₁, поэтому

$\frac{S_{AB_1C}}{S_{AB_1C_1}} = \frac{AC}{AC_1}$.

3) Перемножив полученные равенства и учтя, что A = A₁, находим

$\frac{S}{S_1} = \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1}$

Теорема доказана.