Оптическая теорема

Оптическая теорема — соотношение в волновой теории рассеяния, связывающее амплитуду рассеяния $f(\theta)$ и сечение рассеяния $\sigma$.

Оптическая теорема формулируется следующим образом:

$\sigma=\frac{4\pi}{k}~Im\,f(0),$

где $f(0)$ — амплитуда рассеяния вперёд, $\sigma$ — сечение рассеяния, $k$ — волновой вектор падающей волны. Так как теорема является следствием закона сохранения энергии (в квантовой механике — вероятности), то она является довольно общим утверждением, имеющим широкую область применения.

Более общий вид теоремы

$f(\bold{n, n^{'}})-f^{*}(\bold{n^{'},n})=\frac{i k}{2 \pi} \int f(\bold{n, n^{''}}) f^{*}(\bold{n^{'}, n^{''}}) d\omega^{''}$

Доказательство

Асимптотический вид амплитуды рассеяния на больших расстояниях:

$\psi \approx e^{i k r \bold{(n, n^{'})}} + \frac{1}{r} f(\bold{n, n^{'}}) e^{i k r}$,

где $\bold{n}$ — направление падения частиц, $\bold{n}^'$ — направление рассеяния.

Любая линейная комбинация функций $\psi$ с различными направлениями падения также представляет некий возможный процесс рассеяния. Умножив $\psi$ на произвольные коэффициенты $F(\bold{n})$ и проинтегрировав по всем направлениям $\bold{n}$, получим такую линейную комбинацию в виде интеграла

$\int F(\bold{n}) e^{i k r \bold{(n, n^{'})}} d\Omega + \frac{e^{i k r}}{r} \int F(\bold{n}) f(\bold{n, n^{'}}) d\Omega$

Поскольку расстояние $r$ велико, то множитель $e^{i k r \bold{n, n^{'}}}$ в первом интеграле является быстро осциллирующей функцией направления переменного вектора $\bold{n}$. Значение интеграла определяется потому в основном областями вблизи тех значений $\bold{n}$, при которых показатель экспоненты имеет экстремум ($\bold{n} \pm \bold{n^'}$). В каждой из этих областей множитель $F(\bold{n}) \approx F(\pm\bold{n^'})$ можно вынести за знак интеграла, после чего интегрирование дает

$2 \pi i F(-\bold{n^'}) \frac{e^{-i k r}}{k r} - 2 \pi i F(\bold{n^'}) \frac{e^{i k r}}{k r} + \frac{e^{i k r}}{r} \int f(\bold{n , n^'}) F(\bold{n}) d\Omega.$

Перепишем это выражение в более компактном виде, опустив общий множитель $2 \pi i / k$:

$\frac{e^{-i k r}}{r} F(-\bold{n^'}) - \frac{e^{i k r}}{r} \hat{S} F(\bold{n^'})$,

где

$\hat{S}=1\,+\,2 i k \hat{f}$,

а $\hat{f}$ — интегральный оператор:

$\hat{f} F(\bold{n^'}) = \frac{1}{4 \pi} \int f(\bold{n, n^'}) F(\bold{n}) d\Omega$.

Первый член волновой функции описывает сходящуюся к центру, а второй — расходящуюся от центра волну. Сохранение числа частиц при упругом рассеянии выражается равенством полных потоков частиц в сходящихся и расходящихся волнах. Другими словами, эти волны должны иметь одинаковую нормировку. Для этого оператор рассеяния $\hat{S}$ должен быть унитарным, то есть

$\hat{S} \hat{S}^{+} = \hat{1}$,

или (с учетом выражения для $\hat{S}$):

$\hat{f}-\hat{f}^{+} = 2 i k \hat{f} \hat{f}^{+}$.

Наконец, учитывая определение $\hat{f}$, получаем утверждение теоремы

$f(\bold{n, n^{'}})-f^{*}(\bold{n^{'},n})=\frac{i k}{2 \pi} \int f(\bold{n, n^{''}}) f^{*}(\bold{n^{'}, n^{''}}) d\Omega^{''}$.

Литература

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5