Рефлексивное пространство

Рефлексивное пространство — банахово пространство $X$, совпадающее при каноническом вложении со своим вторым сопряженным $X^{**}$.

Определение

Пусть $X^*$ — пространство, сопряженное с $X$, то есть совокупность всех непрерывных линейных функционалов, определенных на $X$. Если $\langle x, f\rangle$ — значение функционала $f\in X^*$ на элементе $x\in X$, то при фиксированном $x$ и $f$, пробегающем $X^*$, выражение $\langle x, f\rangle=\mathcal F_x(f)$ будет линейным функционалом на $X^*$, то есть элементом пространства $X^{**}$. Пусть $\overline{X}\subset X^{**}$ — множество таких функционалов. Соответствие $x\to \mathcal F_x$ есть изоморфизм, не меняющий нормы $|\!|x|\!|=|\!|\mathcal F_x|\!|$.

Если $\overline{X}= X^{**}$, то пространство $X$ называется рефлексивным.

Примеры

• Пространства $\ell_p$ и $L_p(a,b)$, $1<p<\infty$, рефлексивны,
• Пространства $C[a,b]$, $L_1[a,b], L_\infty[a,b]$ не рефлексивны.

Свойства

• Пространство $X$ рефлексивно тогда и только тогда, когда $X^*$ рефлексивно.
• Пространство X рефлексивно тогда и только тогда, когда единичный шар этого пространства слабо компактен.
• Рефлексивное пространство слабо полно. Обратное неверно, существуют слабо полные нерефлексивные пространства, например $L_1$.
• Замкнутое подпространство рефлексивного пространства рефлексивно.

Вариации и обобщения

• Понятие рефлексивности естественным образом распространяется на локально выпуклые пространства.

Литература

• Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, ч. 1 — Общая теория, пер. с англ., М., 1982;
• Иосида К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967;
• Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ, I изд., М., 1977.
• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
• Функциональный анализ / редактор С.Г.Крейн. — 2-е, переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1972. — 544 с. — (Справочная математическая библиотека).