Принцип максимума модуля

У этого термина существуют и другие значения, см. Принцип максимума.

В этой статье отсутствует вступление. Пожалуйста, допишите вводную секцию, кратко раскрывающую тему статьи.

Формулировка

Если $f$ голоморфна в некоторой области $G\subset\mathbb C^n$ и существует точка $z_0\in G$ такая, что во всей области $G$ выполняется неравенство $|f(z_0)|\geqslant |f(z)|$, то $f(z)\equiv\mathrm{const}$.

Другими словами, модуль аналитической функции, отличной от константы, не может иметь локальных максимумов внутри области $G$.

Следствия

• Принцип минимума модуля. Если $f$ аналитична в некоторой области $G\subset\C^n$, не обращается там в нуль и существует точка $z_0\in G$ такая, что во всей области $G$ выполняется неравенство $|f(z_0)|\leqslant|f(z)|$, то $f(z)\equiv\mathrm{const}$. (То есть локальные минимумы модуля аналитической функции, отличной от константы, могут достигаться только в тех точках, где она обращается в ноль.)
• Принцип максимума вещественной и мнимой части. Если для аналитической функции $f(z)$ в точке $z_0\in G$ достигается локальный максимум (минимум) у её вещественной (или мнимой) части, тогда функция $f(z)$ есть константа.

(Здесь используется обычный принцип максимума модуля для функций $e^{f(z)}$ и $e^{if(z)}$, а также равенство $\left|e^{f(z)}\right|=e^{\mathrm{Re}\,f(z)}$.)

• Пусть $K\subset\mathbb C^n$ — компактное подмножество. Для всякой функции $f$, непрерывной на $K$ и аналитичной внутри $K$, выполнено равенство:

$\|f\|_K=\|f\|_{\partial K}.$

Если последовательность таких функций равномерно сходится на границе компакта $K$, тогда она сходится равномерно на всём $K$.

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 3 июля 2012.