Принцип Фрагмена

Для аналитических функций справедлив так называемый принцип максимума модуля, который предписывает четкое расположение максимума модуля для аналитической в некоторой ограниченной области функции исключительно на границе этой области. В общем случае для неограниченных областей такое предположение неверно. Однако при наложении на функцию некоторых дополнительных ограничений можно показать, что функция будет ограничена по модулю и в неограниченной области.

Принцип Фрагмена — Линделёфа для неограниченного сектора

Пусть функция $f$ аналитична в секторе $S=\{z:-\frac{\pi}{4}<\arg z<\frac{\pi}{4}\}$ и непрерывна на его границе. Тогда, если на границе этого сектора справедливо неравенство $|f(z)|\le 1$ и существуют постоянные $c,C\in\mathbb R$ такие, что во всем секторе выполняется неравенство $|f(z)|\leq Ce^{c|z|}$, тогда неравенство $|f(z)|\le 1$ справедливо во всем секторе.

Принцип Фрагмена — Линделёфа для вертикальной полуполосы

Пусть $\Omega=\{z:\mathop{\mathrm{Im}}\,z>y_0,x_1<\mathop{\mathrm{Re}}\,z<x_2\}$ — бесконечная вертикальная полуполоса, далее, пускай существуют постоянные $M, A, B$ такие, что на границе полосы выполнено неравенство $|f(z)|\le M$, а в самой полосе выполняется неравенство $|f(z)|\le B{(\mathop{\mathrm{Im}}\,f(z))}^A$. Тогда $|f(z)|\le M$ выполнено во всей полосе.