- Замыкание (геометрия)
-
Замыка́ние — конструкция, дающая наименьшее замкнутое множество, содержащее данное множество топологического пространства.
Замыкание множества
обычно обозначается
Содержание
Определения
Следующие два определения равносильны.
Как наименьшее замкнутое множество
Пусть
есть подмножество тополочического пространства
. Замыканием
в
называется пересечение всех замкнутых множеств содержащих
.
Замечание. Поскольку пересечение произвольного семейства замкнутых множеств замкнуто, замыкание всегда замкнуто.
Через точки прикосновения
Точка
тополочического пространства
называется точкой прикосновения множества
если любая окрестность
содержит хотя бы одну точку множества
.
Множество всех точек прикосновения
называется замыканием
.
Свойства
- Замыкание множества замкнуто.
- Замыкание множества содержит само множество, то есть
.
- Замыкание множества содержит все его предельные точки.
- Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим замыканием, то есть
.
- Замыкание сохраняет отношение вложения, то есть
- Замыкание объединения есть объединение замыканий, то есть
- Замыкание пересечения является подмножеством пересечения замыканий, то есть
Примеры
Во всех нижеследующих примерах топологическим пространством является числовая прямая
с заданной на ней стандартной топологией.
;
, где
— множество рациональных чисел.
В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 13 мая 2011.Категории:- Общая топология
- Математический анализ
Wikimedia Foundation. 2010.