Сигма-конечная мера

Си́гма-коне́чная ме́ра в функциональном анализе — мера, такая что всё пространство может быть представлено в виде счётного объединения измеримых множеств конечной меры.

Определение

Пусть $(X,\mathcal{F},\mu)$ — пространство с мерой. Мера $\mu$ называется σ-конечной, если существует счётное семейство измеримых множеств $\{A_i\}_{i=1}^{\infty} \subset \mathcal{F}$, такое, что $\mu(A_i) < \infty,\; i\in \mathbb{N}$ и

$X = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i$.

Примеры

• Мера Лебега $m$ на $\mathbb{R}$ σ-конечна, так как

$\mathbb{R} = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} [-i,i],\; m([-i,i]) = 2i<\infty,\; i=1,2,\ldots$.

• Счётная мера $\mu$ на $\mathbb{R}$, то есть такая, что $\mu(\{x\}) = 1,\; \forall x \in \mathbb{R}$ не является σ-конечной, ибо счётное объединение любых множеств конечной меры в этом случае будет счётно, в то время как всё пространство несчётно.

Литература

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.