- Сходимость по мере
-
Сходи́мость по ме́ре (по вероя́тности) в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — это вид сходимости измеримых функций (случайных величин), заданных на пространстве с мерой (вероятностном пространстве).
Определение
Пусть
— пространство с мерой. Пусть
— измеримые функции на этом пространстве. Говорят, что последовательность функций
сходится по мере к функции
, если
.
Обозначение:
.
В терминах теории вероятностей, если дано вероятностное пространство
с определёнными на нём случайными величинами
, то говорят, что
сходится по вероятности к
, если
.
Обозначение:
.
Замечание
Определение сходимости по мере (по вероятности) может быть обобщено для отображений (случайных элементов), принимающих значения в произвольном метрическом пространстве.
Свойства сходимости по мере
Теорема (Рисс Ф.): Если последовательность функций
сходится по мере к
, то у неё существует подпоследовательность
, сходящаяся к
-почти всюду.
Теорема (критерий сходимости по мере): Последовательность функций
сходится по мере к
тогда и только тогда, когда для любой подпоследовательности последовательности
существует подпоследовательность, которая сходится к
почти всюду.
- Если последовательность функций
сходится по мере к
, и
, где
, то
, и
сходится к
в
.
- Если в пространстве с конечной мерой последовательность функций
сходится
-почти всюду к
, то она сходится и по мере. Обратное, вообще говоря, неверно.
- Если последовательность функций
сходится в
к
, то она сходится и по мере. Обратное, вообще говоря, неверно.
- Если последовательность случайных величин
сходится по вероятности к
, то она сходится к
и по распределению.
Категории:- Функциональный анализ
- Теория вероятностей
Wikimedia Foundation. 2010.