- Расширенная числовая прямая
-
Расширенная числовая прямая
(читается «эр с чертой») — множество вещественных чисел
, дополненное двумя элементами:
(положительная бесконечность) и
(отрицательная бесконечность), то есть
Бесконечности
и
, которые не являются числами в обычном понимании этого слова, также называют бесконечными числами, в отличие от вещественных чисел
, называемых конечными числами. При этом для любого вещественного числа
по определению полагают выполненными неравенства
Cледует отличать расширенную числовую прямую
от множества вещественных чисел, дополненного одной бесконечностью
. Такая система называется проективной прямой, и обозначается
Содержание
Мотивировка
При формулировке многих теорем и определений математического анализа приходится отдельно рассматривать случаи «конечного» и «бесконечного».
Например, отдельно формулируются понятия сходящейся последовательности
и последовательности, предел которой равен
:
Отдельно формулируются понятия предела функции при
и предела при
:
Эти соображения наводят на мысль рассматривать бесконечности
и
как равноправные члены системы
, наряду с конечными числами. Благодаря этому достигается единообразие в формулировках и доказательствах теорем математического анализа.
Упорядоченность
Множество вещественных чисел
линейно упорядоченно по отношению
. Однако в
нет максимального и минимального элементов. Если рассматривать систему вещественных чисел как линейно упорядоченное множество, то ее расширение до системы
как раз состоит в добавлении максимального (
) и минимального (
) элементов.
Благодаря этому, в системе
всякой непустое множество имеет точную верхную грань (конечную, если множество ограничено сверху, и
, если не ограничено сверху). Аналогичное утверждение справедливо и для точной нижней грани. Этим объясняется удобство введения элементов
и
.
Топология расширенной числовой прямой
Открытые множества и окрестности
Отношение порядка
порождает топологию
на
. В топологии
открытыми множествами являются всевозможные объединения интервалов
где
.
Окрестностью
точки
называется всякое открытое множество, содержащее эту точку. И, как следует из определения открытых множеств топологии
, всякая окрестность точки
включает один из интервалов указанного вида, содержащий
.
В курсах математического анализа обычно вводят более частное понятие
-окрестности
точки расширенной числовой прямой (
).
В случае
, то есть когда
является числом,
-окрестностью
называется множество
Если же
, то
а если
, то
Понятие
-окрестностей для бесконечных чисел определено таким образом, что во всех случаях — когда
является вещественным числом, или одной из бесконечностей — при уменьшении числа
соответствующие окрестности уменьшаются:
.
Пределы
В
все специальные разновидности пределов укладываются в единое определение предела (которое соответствует общетопологическому определению предела).
Пусть
, где
. В частности
может быть вещественной функцией вещественного переменного. Пусть
Компактность
— компактное хаусдорфово пространство. Пространство вещественных чисел
является полным, но не является компактным. Таким образом, расширенная система вещественных чисел
может рассматриваться как двухточечная компактификация
. При этом
оказывается гомеоформным отрезку
. Этот факт имеет наглядное геометрическую иллюстрацию. Аналитически гомеоформизм
задается формулой
Примечания
Литература
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: «ФИЗМАТЛИТ», 2004. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4
- Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1
- Рудин У. Основы математического анализа = Principles of Mathematical Analysis. — 3-е изд. — М.: Лань, 2004. — 320 с. — ISBN 5-8114-0443-3
Категория:- Математический анализ
Wikimedia Foundation. 2010.