Действие группы

Вращения на углы кратные 120° вокруг центра равностороннего треугольника действует на множестве вершин этого треугольника, циклически переставляя их.

Действие группы на некотором множестве объектов позволяет изучать симметрии этих объектов с помощью аппарата теории групп.

Определения

Действие слева

Говорят, что группа $G$ действует слева на множестве $M$, если задан гомоморфизм $\Phi\colon G\to S(M)$ из группы $G$ в симметрическую группу $S(M)$ множества $M$. Для краткости $(\Phi(g))(m)$ часто записывают как $gm$, $g\cdot m$ или $g.m$. Элементы группы $G$ называются в этом случае преобразованиями, а сама группа $G$ — группой преобразований множества $M$.

Другими словами, группа $G$ действует на множестве $M$, если задано отображение $G\times M\to M$. обозначаемое $(g,m)= gm$, такое что

1. $(gh)m=g(hm)$ для всех $g,\;h\in G$, $m\in M$ и
2. $em=m$, где $e$ — нейтральный элемент группы $G$. Можно сказать, что единица группы соотносит каждому элементу $M$ его же; такое преобразование называется тождественным.

Действие справа

Аналогично, правое действие группы $G$ на $M$ задается гомоморфизмом $\rho: G^{op} \to S(M)$, где $G^{op}$ — инверсная группа группы $G$. При этом часто используют сокращенное обозначение: $\rho(g)(m) =: xg$. При этом аксиомы гомоморфизма записываются следующим образом:

1. $m(gh) = (mg)h,$
2. $me = m.$

Комментарии

• Любое правое действие группы $G$ — это левое действие группы $G^{op}$. Также, так как каждая группа изоморфна своей инверсной группе (изоморфизмом является, например, отображение $g \mapsto g^{-1}$), то из каждого правого действия можно с помощью такого изоморфизма получить левое действие. Поэтому, как правило, исследуются только левые действия.

• Если множество $M$ снабжено какой-то дополнительной структурой, то обычно предполагается, что отображение $m\mapsto gm$ сохраняет эту структуру.
  • Например, если $M$ — топологическое пространство, то $m\mapsto gm$ предполагается непрерывным (а, значит, автоморфизмом). Такое действие более точно называется непрерывным действием.

Типы действий

• Свободное, если для любых различных $g,\;h\in G$ и любого $m\in M$ выполняется $gm\ne hm$.
• Транзитивное если для любых $m,\;n\in M$ существует $g\in G$ такой, что $gm=n$. Другими словами, действие транзитивно, если $Gm=M$ для любого элемента $m\in M$.
• Эффективное, если для любых $g,\;h\in G$ существует $m\in M$ такой, что $gm\ne hm$.
• Вполне разрывное, если для любого компактного множества $K$, множество всех $g \in G$, для которых пересечение $K \cap gK$ непусто, конечно.

На топологических пространствах и гладких многообразиях также особо рассматривают действия групп, наделенных соответствующими дополнительными структурами: топологических групп и групп Ли. Действие $\rho: G \to \mathrm{X}$топологической группы на топологическом пространстве называют непрерывным, если оно непрерывно как отображение двух топологических пространств. Аналогично определяется гладкое действие группы Ли на гладком многообразии.

• Непрерывное действие группы на пространстве жёстко (или квазианалитично), если из того, что некоторый элемент группы действует как тождественное отображение на некотором открытом множестве пространства, следует, что это единичный элемент группы.
  • Любое эффективное непрерывное действие изометриями на связном римановом многообразии обязательно жёстко, чего нельзя сказать об общих метрических пространствах. Например, действие циклической группы порядка 2 перестановкой двух рёбер на графе, образованном тремя рёбрами, выходящими из одной точки, является эффективным, но не жёстким.

Орбиты

Подмножество

$Gm=\{gm\mid g\in G\}\subset M$

называется орбитой элемента $m\in M$.

Действие группы $G$ на множестве $M$ определяет на нём отношение эквивалентности

$\forall n,\;m\in M\;(n\,\sim_{_G} \,m)\Longleftrightarrow(\exists g\in G\;:\;gn=m)\Longleftrightarrow(Gn=Gm).$

При этом классами эквивалентности являются орбиты элементов. Поэтому, если общее число классов эквивалентности равно $k$, то

$M=Gm_1\sqcup Gm_2\sqcup\ldots\sqcup Gm_k,$

где $m_1,\;m_2,\;\ldots,\;m_k\in M$ попарно неэквивалентны. Для транзитивного действия $k=1$.

Стабилизаторы

Подмножество

$G_m=\{g\in G\mid gm=m\}\subset G$

является подгруппой группы $G$ и называется стабилизатором или стационарной подгруппой элемента $m\in M$.

Стабилизаторы элементов одной орбиты сопряжены, то есть если $n\,\sim_{_G}\,m$, то найдется такой элемент $g\in G$, что

$G_m=gG_ng^{-1}.$

Количество элементов в орбите

$|Gm|=[G:G_m]$, $G_m$ — стабилизатор элемента $m$ и $[G:G_m]$ — индекс подгруппы $G_m\subset G$, в случае конечных групп равен $\frac{|G|}{|G_m|}$.

Если $M=Gm_1\sqcup Gm_2\sqcup\ldots\sqcup Gm_k$, то

$|M|=\sum_{t=1}^k[G:G_{m_t}]$ — формула разложения на орбиты.

Эта формула также влечёт следующие тождества:

1. $\forall m\in M\;\sum_{n\in Gm}|G_n|=|G|;$
2. $\sum_{m\in M}|G_m|=k|G|;$
3. лемма Бёрнсайда.

Примеры действий

Действия на себе

Слева

Действие на себе слева является наиболее простым примером действия, в этом случае, $M=G$ и гомоморфизм $\Phi:G\to S(G)$ задан как $(\Phi(g))(h)=gh$.

Справа

Аналогично определяется действие на себе справа, $(\Phi(g))(h)=hg^{-1}$.

Слева и справа

Эти два действия являются действиями подгрупп прямого произведения $G\times G$ на $M=G$ с гомоморфизмом $\Phi:G\times G\to S(G)$ заданым как $(\Phi(g_1,\;g_2))(h)=g_1hg_2^{-1}$.

Сопряжениями

Пусть $M=G$ и гомоморфизм $\Phi:G\to S(G)$ задан как $(\Phi(g))(h)=ghg^{-1}$. При этом для каждого элемента $h\in G$ стабилизатор $G_h$ совпадает с централизатором $C(h)$:

$G_h=\{g\in G\mid ghg^{-1}=h\}=\{g\in G\mid gh=hg\}=C(h).$

Например, для элемента $h$ из центра группы $G$ (то есть $h\in Z(G)$) имеем $C(m)=G$ и $G_h=G$.

Вариации и обобщения

• Псевдогруппа преобразований

См. также

• Представление группы

Литература

• Винберг, Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002. — ISBN 5-88688-0607.
• Кострикин, А. И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0489-6.