- Лемма Морса
-
Лемма Морса — лемма, описывающая поведение гладкой или аналитической вещественной функции в окрестности невырожденной критической точки. Названа в честь американского математика Марстона Морса.
Содержание
Формулировка
Пусть
— функция класса
, где
, имеющая точку
своей невырожденной критической точкой, то есть в этой точке дифференциал
обращается в нуль, а гессиан
отличен от нуля. Тогда в некоторой окрестности
точки
существует такая система
-гладких локальных координат (карта)
с началом в точке
, что для всех
имеет место равенство
.
При этом число
, определяемое сигнатурой квадратичной части ростка
в точке
, называется индексом критической точки
данной функции — частный случай общего понятия индекс Морса.
ДоказательствоЛинейная часть функции
в точке
равна нулю, а квадратичная часть невырожденная. Сделаем линейную замену переменных
, приводящую квадратичную часть к каноническому виду
.
Затем, дважды применяя лемму Адамара, представим
в виде
,
где все
— функции класса
, обращающиеся в нуль в точке
. Замена переменных
, определенная в некоторой окрестности точки
, приводит
к требуемой форме.
Вариации и обобщения
Теорема Тужрона
В окрестности критической точки
конечной кратности
существует система координат, в которой гладкая функция
имеет вид многочлена
степени
(в качестве
можно взять многочлен Тейлора функции
в точке
в исходных координатах). В случае невырожденной критической точки кратность
, и теорема Тужрона превращается в лемму Морса.
Лемма Морса с параметрами
Пусть
— гладкая функция, имеющая начало координат
своей критической точкой, невырожденной по переменным
. Тогда в окрестности точки
существуют гладкие координаты, в которых
где
— некоторая гладкая функция. Это утверждение позволяет свести исследование особенности (критической точки) функции от
переменных к исследованию особенности функции от меньшего числа переменных (а именно, от числа переменных, равного корангу гессиана исходной функции).
Литература
- Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.
- Зорич В. А. Математический анализ, — Любое издание.
- Хирш М. Дифференциальная топология, — Любое издание.
- Takens F. A note on sufficiency of jets. — Inventiones Mathematicae, vol. 13, no 3, 1971, pp. 225—231.
- Самойленко А. М. Об эквивалентности гладкой функции полиному Тэйлора в окрестности критической точки конечного типа, — Функц. анализ и его прил., 2:4 (1968), стр. 63–69.
- Даринский Б. М., Сапронов Ю. И., Царев С. Л. Бифуркация экстремалей фредгольмовых функционалов, — СМФН, 12, М., 2004, стр. 3–140.
Категории:- Теория Морса
- Леммы
Wikimedia Foundation. 2010.