Линейная интерполяция

Лине́йная интерполя́ция — интерполяция алгебраическим двучленом P₁(x) = ax + b функции f, заданной в двух точках x₀ и x₁ отрезка [a, b]. В случае, если заданы значения в нескольких точках, функция заменяется кусочно-линейной функцией.

Геометрическая интерпретация

Геометрически это означает замену графика функции $f$ прямой, проходящей через точки $(x_0, f(x_0))$ и $(x_1, f(x_1))$.

График: пример линейной интерполяции

Уравнение такой прямой имеет вид:

$\frac{y - f(x_0)}{f(x_1) - f(x_0)} = \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}$

отсюда для $x \in [x_0, x_1]$

$f(x) \approx y = P_1(x) = f(x_0) + \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}(x - x_0)$

Это и есть формула линейной интерполяции, при этом

$f(x) = P_1(x) + R_1(x)\quad$

где $R_1(x)$ — погрешность формулы:

$R_1(x) = \frac{f''(\psi)}{2}(x - x_0)(x - x_1),\quad \psi \in [x_0, x_1]$

Справедлива оценка

$|R_1(x)|\leqslant \frac{M_2}{2} \max |(x - x_0)(x - x_1)| = \frac{M_2 h^2}{8},\quad M_2 = \max_{[a, b]} |f''(x)|,\quad h = x_1 - x_0.$

Применение

Линейная интерполяция применяется для уплотнения таблиц.

Формула линейной интерполяции является частным случаем интерполяционной формулы Лагранжа и интерполяционной формулы Ньютона.

См. также

• Билинейная интерполяция
• Интерполяция алгебраическими многочленами