- Дифференцирование (алгебра)
-
В алгебре дифференцирование — это операция, обобщающая свойства различных классических производных и позволяющая ввести дифференциально-геометрические идеи в алгебраическую геометрию. Изначально это понятие было введено для исследования интегрируемости выражений в элементарных функциях алгебраическими методами.
Содержание
Определение
Пусть
— алгебра над кольцом
. Дифференцирование алгебры
— это
-линейное отображение
, удовлетворяющее тождеству Лейбница:
В более общем случае дифференцирование коммутативной
со значениями в
-модуле
— это
-линейное отображение
, удовлетворяющее тождеству Лейбница. В этом случае
называют дифференциальным модулем над
Множество всех дифференцирований со значениями в
обозначается
(
,
) и является
-модулем. Функтор
является представимым, его представляющий объект обозначается
или
и называется модулем кэлеровых дифференциалов.
является начальным объектом в категории дифференциальных модулей над
, то есть существует такое дифференцирование
, что любое дифференцирование
пропускается через
:
Свойства
имеет естественную структуру алгебры Ли:
- Любое дифференцирование является дифференциальным оператором (в смысле коммутативной алгебры) первого порядка. Более того, если
— алгебра с единицей, то для любого
-модуля
- Здесь
— модуль дифференциальных операторов 1 порядка из
в
.
является функтором из
в
.
Градуированное дифференцирование
Пусть
—
-градуированная алгебра, градуировку элемента
обозначим
. Правильным аналогом дифференцирований в этом случае являются градуированные дифференцирования, порождённые однородными отображениями
степени
, удовлетворяющими следующему градуированному тождеству Якоби (
):
Если
, то градуированные дифференцирования совпадают с обычными. Если
, то их обычно называют супердифференцированиями. Супердифференцирования образуют супералгебру Ли относительно суперкоммутатора
Примерами супердифференцирований являются внешнее и внутреннее дифференцирование на кольце дифференциальных форм.
Литература
- Bourbaki, Nicolas (1989), «Algebra I», Elements of mathematics, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
- Kolař, Ivan; Slovák, Jan & Michor, Peter W. (1993), «Natural operations in differential geometry», Springer-Verlag, <http://www.emis.de/monographs/KSM/index.html>.
См. также
Категория:- Дифференциальная алгебра
Wikimedia Foundation. 2010.