Опорная функция

Опорная функция или опорный функционал, множества $M$, лежащего в векторном пространстве $V$, — функция $s_M$, задаваемая на сопряжённом пространстве $V^*$ соотношением

$s_M (y) = \sup_{x\in M} y(x).$

Например, опорная функция единичного шара в нормированном пространстве $V$ — это норма на сопряжённом пространстве.

Свойства

• Опорная функция всегда выпуклая, замкнутая и положительно однородная (первой степени).
• Оператор $s_*\colon M \to s_M$ взаимно однозначно отображает совокупность выпуклых замкнутых множеств в $V$ на совокупность выпуклых замкнутых положительно однородных функций, обратный оператор — не что иное, как субдифференциал (в нуле) опорной функции.
  • Именно, если $M$ — выпуклое замкнутое подмножество в $V$, то $d(s_M) = M$, и если $p$ — выпуклая замкнутая однородная функция на $V^*$, то $s(dp(0))=p$.
• $s_{\lambda A}=\lambda s_A$ если $\lambda\ge 0$.
• $s_{A+B}=s_A+s_B$, где $A+B$ обозначает сумму Минковского
• $s_{A\cap B}= conv(\min\{s_A,s_B\})$ где $conv(f)$ обозначает максимальную выпуклую функцию не превосходящую $f$.
• $s_{A\cup B}=s_{conv A\cup B}=\max\{s_A,s_B\}$ где $conv X$ обозначает выпуклую оболочку $X$.

См. также

• Функционал Минковского

Ссылки

• Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: Физматлит, 2004. — 416 с — ISBN 5-9221-0499-3.