ХАОС ДИНАМИЧЕСКИЙ

ХАОС ДИНАМИЧЕСКИЙ

(хаос детерминированный) - нерегулярное, апериодическое изменение состояния (движение) динамич. системы, обладающее осн. свойствами случайного процесса.

Исследования свойств нелинейных динамич. систем показали, что для мн. таких систем характерно не только упорядоченное, регулярное движение, но и случайное изменение состояния. Парадоксальность вывода следует из того, что это движение возникает в отсутствие случайных факторов и полностью определяется нач. условиями. Иллюстрацией может служить матем. маятник с периодически колеблющейся точкой подвеса. Возмущение маятника не случайно, однако его движение может быть как условно-периодическим, так и случайным в зависимости от выбираемых нач. условий.

Явление X. д. присуще большинству нелинейных систем, как автономных, так и неавтономных. Однако оно может оказаться трудно наблюдаемым, если хаос является слабым или медленным (т. е. наблюдается на очень больших временах) либо если он существует в узком диапазоне значений параметров.

Существование хаоса в динамич. системах связано со специфич. неустойчивостью, называемой локальной неустойчивостью и определяемой след. образом. Пусть z(t) - точка в фазовом пространстве, определяющая состояние системы в момент времени t. Совокупность всех точек z(t) в разл. моменты t образует фазовую траекторию системы, выходящую из точки z₀ = z (0).

Обозначим через D(t)=|| z₁(t) - z₂(t)|| расстояние между двумя точками в фазовом пространстве, принадлежащими разным траекториям z₁(t )и z₂(t )вмомент времени t. Пусть система совершает финитное движение в фазовом пространстве. Такая система наз. локально неустойчивой, если для траекторий, близких в нач. момент времени, существует направление, в к-ром

(рис. 1, а). Свойство (1) имеет место для множества нач. условий, имеющих конечную меру в фазовом пространстве системы, и при сколь угодно малых возмущениях нач. условий (т. е. при D(0)0). Поэтому локальную неустойчивость называют также чувствительностью к возмущению нач. условий.

Вследствие финитности движения (конечности объёма Г фазового пространства, занимаемого траекториями) траектории не могут разойтись на расстояния, превышающие характерный размер области Г, и начинают запутываться (рис. 1, б). Как следствие, системы с локальной неустойчивостью обладают свойством перемешивания.

Это свойство, введённое в статистическую физику в работах Дж. У. Гиббса (J. W. Gibbs), является более тонким, чем свойство эргодичности. Пусть z(t)- фазовая точка, характеризующая состояние системы в момент времени t, z₀ = z(0), f(z)- произвольная ф-ция от z, S_t - эволюционный оператор, S_tz(0) = z(t). Движение наз. эргодическим, если независимо от выбора момента времени t

где среднее по времени и фазовое среднее <f> от ф-ции f определены соотношениями

Здесь d Г(z)- элемент объёма фазового пространства в окрестности точки z. В определении учтена независимость от выбора t (второе равенство в первой строке).

Пусть имеются две произвольные ф-ции f(z )и g(z). Тогда движение наз. перемешивающим, если

где R_T(f, g) - корреляц. ф-ция, определяемая через фазовые средние равенством

Из наличия перемешивания автоматически следует свойство эргодичности; обратное, вообще говоря, неверно.

Эфф. перемешивание элемента фазового объёма dГ происходит за время t~1/h₀. Пример эволюции "фазовой капли", иллюстрирующий свойства локальной неустойчивости и перемешивания, показан на рис. 2. Роль локальной неустойчивости в возникновении перемешивания была выяснена Н. С. Крыловым.

Эволюция динамич. систем с перемешиванием различна в зависимости от того, является система гамильтоновой или диссипативной.

I. Гамильтоновы системы

В этом случае фазовый объём не меняется: dГ _t = dГ ₀ (dГ ₀ - фазовый объём в нач. момент времени, dГ _t- фазовый объём той же "капли" в момент времени t). Однако структура "фазовой капли" изменяется (рис. 2): "капля" принимает неправильную, амёбообразную форму и постепенно заполняет все области фазового пространства за счёт вытягивания и утоньшения отростков. Следовательно, эфф. объём капли растёт, однако в нём появляется большое кол-во пустот. Для характеристики "раздувания" капли вводится огрубление фазового объёма. Пусть масштаб огрубления есть e (eимеет размерность Г). Это значит, что все точки капли следует заменить на сферы объёмом e. Объединение всех таких сфер даст огрублённый объём фазовой капли . В отличие от истинного объёма dГ _t величина меняется со временем за счёт роста объёма пустот в огрублённой капле. Выберем нач. объём фазовой капли dГ ₀ = e (при точности огрубления е меньший объём не имеет смысла). Величина

наз. э н т р о п и е й К о л м о г о р о в а - С и н а я (или К-э н т р о п и е й, КС-э н т р о п и е й). Величина h не зависит от способа разбиения фазового пространства и огрубления и характеризует усреднённый по объёму инкремент неустойчивости h₀ в (1), h = <h₀>. Системы с хаосом имеют ненулевую К-энтропию h>0. Такие системы (т. е. системы с перемешиванием) наз. К-с и с т е м а м и.

Вследствие перемешивания фазовой жидкости происходит "забывание" нач. условий. В данном элементе объёма dГ могут присутствовать траектории из разл. областей всего допустимого фазового объёма Г, если только время наблюдения t достаточно велико: t>>t~ 1/h. Поэтому время т может быть интерпретировано как время забывания нач. условий или время перемешивания.

Переход к хаосу. Гамильтонова система с N степенями свободы описывается системой 2N ур-ний движения. Имеет место теорема Лиувилля. Пусть система обладает N независимыми интегралами движения I₁, I₂, ..., I_N, коммутирующими между собой: {I_i, I_k} =0, i. k=1,2, ..., N ({...}-скобки Пуассона). Тогда: 1) траектории лежат на N -мерном торе (пример для N =2показан на рис. 3); 2) движение условно-периодично и характеризуется N частотами w_i = w_i(I₁, I₂, ..., I_N), i= 1, 2, ... ; 3) угл. переменные q_i, характеризующие положение фазовой точки на торе, определяются из ур-ний

Из теоремы Лиувилля следует, что для полной интегрируемости гамильтоновой системы достаточно знать N интегралов движения. Совокупности всех комплектов {I_i} соответствует семейство инвариантных торов. Торы являются инвариантными, т. к. их положение и форма в фазовом пространстве не меняются со временем.

Углам q_i соответствуют канонически сопряжённые им обобщённые импульсы (действия) I_i, так что ур-ния движения имеют вид

(первое ур-ние-следствие сохранения I_i). В соответствии с теоремой Лиувилля гамильтониан Н₀ системы может быть записан в виде H₀(I₁, I₂,..., I_N).

Действие возмущения на систему описывается гамильтонианом

где углы q_i и действия I_i - канонически сопряжённые переменные по отношению к гамильтониану Н₀,e- малый параметр, eV- потенциал возмущения. Предполагаются финитность невозмущённого движения и его невырожденность: det| д ²H₀/дI_i дI_k|0.

Согласно теории устойчивости Колмогорова-Арнольда- Мозера (1963) (КАМ), в системе с гамильтонианом (9) при достаточно малых e<e₀ большинство инвариантных торов сохраняется и отличается от невозмущённых торов слабой деформацией. Они занимают фазовый объём Г - dГ(e). Часть торов, занимавшая объём dГ(e), разрушается, но их мера стремится к нулю при e0.

Траектории в dГ(e) - стохастические. Хаос является альтернативой устойчивости, описываемой теорией КАМ. Исследование геометрии областей, в к-рых нет устойчивости и есть хаос, составляет важную часть разл. физ. задач.

Примеры систем с хаосом. 1. Рассеяние материальной точки на шариках радиусом R (рис. 4). Из рис. 4 видно

существование локальной неустойчивости. Данная задача эквивалентна задаче о рассеянии двух шариков радиусом R/2каждый. Возникновение локальной неустойчивости в этой ситуации исследовано Крыловым. Критерий возникновения неустойчивости записывается в виде K=r/R>1, где r - длина свободного пробега материальной точки в "газе" из неподвижных шариков. Если t₀ - характерное время между соударениями, то К-энтро-пия h~(1/t₀)ln К.

2. Рассеивающие биллиарды (б и л л и а р д С и н а я). Обобщение предыдущей модели, в к-рой вместо рассеивающих шаров имеется кривая граница. Пример биллиарда

Синая дан на рис. 5. Для таких объектов характерна выпуклая граница (по отношению к налетающей частице).

Др. тип биллиарда реализуется, если граница вогнутая (по отношению к частице). На рис. 6 показан пример биллиарда типа "стадион". В этом биллиарде движение частицы также стохастическое. Вообще, почти все криволинейные формы биллиардов, в к-рых столкновения частиц со стенками происходят по законам абсолютно упругого удара, приводят к стохастич. траекториям частиц.

-

3. Отображение

Здесь индекс п играет роль дискретного времени, К- параметр, а скобки {...} означают дробную часть числа. Соотношение (10) задаёт отображение отрезка [0, 1] в себя. При К<1из (10) следует х _n = К ⁿ х₀0 при пнезависимо от выбора нач. значения х₀ епренадлежит[0, 1]. При К> 1 расстояние между двумя близкими траекториями растёт:

Отсюда d х _n = К ⁿd х₀ =eхр( пh₀)d х₀, где инкремент неустойчивости h₀=lnK одинаков для всего фазового пространства и является К-энтропией: h =lnK.

4. Двумерное отображение

где матрица . В силу д(х _n+1, у _n+1)/д(х _n, y_n) =detA =1отображение (12) сохраняет фазовый объём системы. Характеристические показатели находятся из ур-ния l² -(К+2)l+1.=0. При К>0один из корней l₁=[K+2+.]/2 больше единицы, чем и определяется локальная неустойчивость. Отображение (12) диа-гонализуется и имеет в направлении первого орта растяжение элементов длины

Соответственно К-энтропия равна h = lnl₁.

5. Ротатор, испытывающий периодические толчки. Эта модель встречается в разл. задачах физики. Гамильтониан модели имеет вид

Невозмущённый гамильтониан Н₀=р²/2задаёт пару канонически сопряжённых переменных ( р, х), причём w( р) = дН₀/др=р. В переменных ( р, х )ур-ния движения имеют вид

От ур-ний (14) можно перейти к точечному отображению. Согласно (14), после п- готолчка импульс приобретает приращение: р _п+1 - р _n= - Ksin х _n, а при дальнейшем движении до начала ( п+1)-го толчка сохраняет значение р _n+1.

К началу (n+1)-го толчка фаза х приобретает значение х _n+1=х _n+р _n+1 Т. Т. <о., отображение определяет значения переменных р, х к моменту ( п+1)-го толчка через их значения до начала n -го толчка. Отображение (15) наз. отображением Чирикова - Тейлора или стандартным отображением (1979). Без ограничения общности можно принять Т=1. Фазовые портреты (15) приведены на рис. 7: (а) для К<К _c и ( б )для К>К _c, где критич. значение K _с = 0,9716.... На плоскости р, х каждой точке соответствует нек-рая пара ( р _n, х _n), принадлежащая одной траектории. Беспорядочное распределение последовательных пар ( р _n, х _n )на плоскости демонстрирует явление хаоса для модели (15). Отд. области не заняты точками стохастич. траектории. Эти области - островки, в к-рых имеется конечная мера периодич. траекторий. В центр. частях островков выполнены условия теории КАМ. На рис. 7( а) узкие области стохастич. динамики (стохастич. слои) отделены друг от друга инвариантными кривыми. На рис. 7( б )стохастич. слои сильно расширились и соединились друг с другом, образовав "стохастич. море". Этот переход происходит при нек-ром критич. значении параметра К=К _с. При К>К _с возможно неогранич. увеличение энергии частицы благодаря стохастич. ускорению. Существование островков обусловлено наличием члена ~sin x в (15), к-рый приводит к появлению областей устойчивости даже при К>>1.

Стохастич. слой является зародышем хаоса в гамиль-тоновых системах. Примеры образования Таких слоев видны на рис. 7(a). Они образуются при любых сколь угодно малых возмущениях и поэтому являются примером неустранимого хаоса. Пусть, напр., задан нелинейный маятник, описываемый ур-нием движения

В отсутствие возмущения (e = 0) сепаратрисой является траектория с энергией E=w²₀, к-рая отделяет колебания (E<w²₀) от вращений (E>w²₀). При e0 сепаратриса разрушается и в её окрестности возникает зона хаоса шириной dE~e, если частота w~w₀. Если частота w>>w₀. то ширина стохастич. слоя оказывается пропорциональной ехр( -pw/2w₀), т. <е. экспоненциально малой.

Разл. стохастич. слои в фазовом пространстве могут пересекаться, образуя нек-рую сеть каналов, внутри к-рых динамика системы является стохастической (рис. 8). Эта сеть наз. стохастич. паутиной (п а у т и н о й А р н о л ь д а). Если размерность фазового пространства 2N=4, то двумерные инвариантные торы разделяют трёхмерный объём, в к-ром движется система (из-за сохранения энергии), на изолир. области (подобно тому, как линия на плоскости делит 2-мерное пространство на изолир. части). Однако уже для трёх и более степеней свободы (N>2) N- мерные торы не разделяют (2N- 1)-мерную энер-гетич. поверхность. Поэтому стохастич. паутина оказывается связной, подходя сколь угодно близко к любой точке фазового пространства. Наличие паутины приводит к неогранич. переносу частиц вдоль стохастич. слоя, называемому д и ф ф у з и е й А р н о л ь д а.

Примером, в к-ром возникает стохастич. паутина с нетривиальной топологией, является осциллятор с гамильтонианом

отличающимся от (13) наличием потенц. энергии х²/2. Этому осциллятору соответствует точечное отображение

Если период Т следования ударов удовлетворяет условию T=2p/q, где q- целое число, то при q>2на фазовой плоскости возникает стохастич. паутина с симметрией порядка q. Решётка является тем более правильной, чем тоньше паутина, т. е. чем меньше параметр К. На рис. 9 показаны примеры стохастич. паутины с( а) симметрией квадратной решётки (q =4), (б )гексагональной симметрией (q=3 и q = 6) и ( в) симметрией 5-го порядка (q=5).

II. Диссипативные системы

В отличие от гамильтоновых систем фазовый объём систем диссипативных меняется со временем. При этом характер изменения зависит от выбора области в фазовом пространстве. В соответствии с этим фазовое пространство диссипативных систем может содержать не только те структурные элементы, к-рые имеются в случае гамиль-тоновых систем, но и такие, как аттракторы и репеллеры. Первые характеризуются тем, что к ним асимптотически притягиваются все фазовые траектории из нек-рой области DГ фазового пространства, называемой областью притяжения (см. Устойчивость движения). Для вторых характерна неустойчивость, т. е. отход любой траектории, начинающейся в нек-рой окрестности репеллера (иными словами, асимптотич. свойства траекторий в окрестности аттрактора и репеллора аналогичны, если только для первых смотреть прямую эволюцию, т. е. при t+, а для вторых- обратную, т. <е. при t-). Наиб. интерес для анализа свойств диссипативных систем представляют именно аттракторы.

В ходе эволюции динамич. системы, обладающей аттрактором, объём фазовой капли неограниченно уменьшается- капля сжимается к аттрактору. Однако сам аттрактор, имея нулевую меру в исходном фазовом пространстве, может оказаться нетривиальным множеством, движение на к-ром является стохастическим. Это значит, что: 1) на таком аттракторе движение является локально неустойчивым и для него может быть введена К-энтропия и 2) это движение обладает свойствами эргодичности и перемешивания. Аттрактор, на к-ром реализуется стоха-стич. динамика, наз. с т о х а с т и ч е с к и м или с т р а н н ы м а т т р а к т о р о м. Последний термин предложен Д. Рюэлем и Ф. Таксисом (D. Ruelle, F. Takens).

Асимптотич. устойчивость аттрактора как множества в фазовом пространстве определяется сжатием фазового объёма: ср. скорость этого сжатия может быть выражена через показатели Ляпунова, определяемые аналогично (1):

Для разл. направлений величина l принимает разл. значения, так что всего имеется М разл. показателей ( М- число дифференц. ур-ний 1-го порядка, описывающих движение системы). Из них один, отвечающий смещению вдоль аттрактора, равен нулю вследствие финитности движения. Все показатели l_i можно упорядочить, так что для странного аттрактора окажется

Скорость сжатия фазового объёма определится тогда равенством

Показатели Ляпунова связаны с К-энтропией. Если все l_i не зависят от точки, то

В сумму входят только положительные показатели, поскольку именно они определяют разбегание фазовых траекторий, имеющее место только на аттракторе.

Странный аттрактор, занимая область фазового пространства нулевой меры, не может тем не менее целиком лежать в плоскости (поскольку фазовые траектории не пересекаются). Кроме того, он должен иметь размерность d>1. С геом. точки зрения он представляет собой, как правило, фрактальное множество, характеризуемое фрактальной размерностью (размерностью Хаусдорфа) d_C, являющейся дробным числом, превышающей размерность топологическую d_T (см. Фракталы).

В качестве примера диссипативной динамич. системы, демонстрирующей стохастич. поведение, можно привести Лоренца систему:

где s, r, b- неотрицат. числа. Сжатие фазового объёма в (23) однородно:

Стохастич. динамика обнаружена Лоренцем при s =10, b = 8/3, r = 24,74. Размерность странного аттрактора оказалась d_C2,05 (при r= 28).

Др. классич. примером является модель Рёслера (О. Rossler, 1976):

Здесь странный аттрактор обнаруживается при m > 4,2.

В дискретных отображениях стохастич. движения обнаружены во мн. моделях. Классическим является универсальное отображение Фейгенбаума (см. Фейгенбаума универсальность):

отображающее отрезок [0,1] в себя. Стохастич. поведение здесь наблюдается при 3,57<L<=4.

Одномерное точечное отображение, порождающее хаос, приводилось выше (см. пример 1 в разделе I).

Примером двумерного сжимающего отображения является ротатор с трением, возбуждаемый периодич. толчками [ср. (13) -(15)]:

где g - коэф. трения, Т- период между толчками.

Сжатие фазового объёма за одну итерацию определяется равенством

Типичный фазовый портрет стохастич. аттрактора отображения (27) показан на рис. 10 ( а), где нанесены точки ( р _n, х _n), получаемые последовательными итерациями одной нач. точки ( р₀, х₀), т. е. принадлежащие одной траектории. Аттрактор имеет канторову структуру в направлении, перпендикулярном к линиям. Это свойство видно из рис. 10 ( б), где в увеличенном масштабе показана область, выделенная на рис. 10 ( а) квадратом. Если на рис. 10( б) взять малую область и также увеличить её, то структура отображения окажется той же, что и на рис. 10( б).

a

См. также Эргодическая теория, Стохастические колебания, Странный аттрактор.

Лит.: Крылов Н. С., Работы по обоснованию статистической физики, М.- Л., 1950; Chirikov В. V., A universal instability of manydimensional oscillator systems, "Phys. Repts", 1979, v. 52, p. 265; Странные аттракторы, сб. ст., пер. с англ., М., 1981; Заславский Г. М., Стохастичность динамических систем, М., 1984; Лихтен-берг А., Либерман М., Регулярная и стохастическая динамика, пер. с англ., М., 1984; Заславский Г. М., Сагдеев Р. 3., Введение в нелинейную физику, М., 1988; Шустер Г. Г., Детерминированный хаос, пер. с англ., М., 1988; Ахромеева Т. С., Кур-дюмов С. П., Малипецкий Г. Г., Самарский А. А., Нестационарные структуры и диффузионный хаос, М., 1992.

Г. М. Заславский, Н. А. Кириченко.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.