ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ИНТЕГРАЛА МЕТОД

ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ИНТЕГРАЛА МЕТОД

- метод

квантования физ. систем, альтернативный волновой меха-

нике Шрёдингера и операторному методу Гeйзенберга (см. Квантовая механика). В основе этого метода, предложенного в 40-х гг. Р. Фейнманом (R. Feynmann), лежит предположение о том, что амплитуда вероятности перехода механич. системы из нач. состояния, характеризуемого координатами х _а, в состояние с координатами х _b пропорц. сумме амплитуд, отвечающих всевозможным траекториям, связывающим точки а и b. При этом вклад данной траектории равен

где S- классич. действие на траектории x(t). Т. о., вероятность того, что система, находившаяся в момент времени t_a в состоянии с координатами х _а, перейдёт в момент t_b в состояние с координатами х _b, равна

суммирование ведётся по всем возможным траекториям, связывающим х _а и х _b, С- нормировочная константа.

Этому выражению можно придать более наглядный смысл, если аппроксимировать траектории x(t )ломаными линиями, состоящими из отрезков прямых, соединяющих точки x_i, в к-рых система находится в моменты времени

Переходя к пределу при N, сумму (3) можно записать в виде интеграла

где

- классич. действие на траектории, состоящей из отрезков прямых, соединяющих точки х _i; интегрирование ведётся по всем траекториям, проходящим в моменты t_a и t_b соответственно через точки х _а и х _b, L - классич. Лагранжа функция. Ф-ла (4) - определение ф у н к ц и он а л ь н о г о, или к о н т и н у а л ь н о г о, и н т е г р а л а.

Функциональный интеграл Фейнмана является обобщением и н т е г р а л о в п о т р а е к т о р и я м, введённых в работах А. Эйнштейна и М. Смолуховского (М. Smoluchowski) по теории броуновского движения. Основы матем. теории интегралов по траекториям были заложены в 20-х гг. Н. Винером (N. Wiener), однако строгая матем. теория функциональных интегралов, встречающихся в ряде физ. задач, до сих пор отсутствует. Существование предела в ф-ле (5) и его независимость от способа аппроксимации траекторий (т. е. вопрос о существовании интегральной меры) в общем случае не доказаны. Тем не менее функциональные интегралы с успехом применяются к широкому кругу задач. Фейнман показал, что, приняв за исходную ф-лу (4), выражающую амплитуду перехода через функциональный интеграл, можно развить стандартный аппарат квантовой механики. В частности, если принять естеств. определение волновой ф-ции как амплитуды вероятности перехода в состояние (x, t )из всевозможных нач. состояний, то волновая ф-ция, определяемая ф-лой (4), будет удовлетворять Шрёдингера уравнению.

Представление амплитуды вероятности в виде функционального интеграла делает наглядным переход к квази-классич. случаю (см. Квазиклассическое приближение). В этом случае характерные параметры системы велики по сравнению с постоянной Планка Л. Подынтегральное выражение в (4) представляет собой быстро осциллирующую ф-цию, и, в соответствии с принципом стационарной фазы, существенный вклад дают лишь траектории, для к-рых небольшие изменения х не меняют действия S, т. е. траектории, для к-рых dS/dx = 0. Это условие определяет, как известно, классич. траекторию. Т. о., в квазиклассич. пределе в интеграле (4) можно ограничиться классич. траекторией.

Представление амплитуды перехода в виде функционального интеграла естеств. образом обобщается на случай квантовой теории поля. Квантовую теорию поля можно рассматривать как механику системы с бесконечным числом степеней свободы. Поле j( х) можно аппроксимировать набором ф-ций j(x_i), отвечающих нек-рой дискретизации пространств. координат х. Амплитуда вероятности того, что система, находившаяся в момент t' в состоянии j'( х), в момент t " окажется в состоянии j ", определяется функциональным интегралом

(здесь - лагранжиан). Интегрирование ведётся по всем ф-циям, принимающим в момент t' значение j'( х) и в момент t " значение j "(x).

Более тщательное исследование показало, что ф-лы (4- 6) нуждаются в уточнении. В общем случае амплитуда перехода определяется функциональным интегралом по фазовому пространству:

Здесь q_i и р _i- канонич. координаты и импульсы, H(p_i, q_i) - классич. Гамильтона функция. Интегрирование ведётся по всем траекториям, проходящим в момент t' через точки q'_i и в момент t " через точки q "_i. Если Я квадратична по импульсам:

( т- масса частицы, V- потенц. энергия), то интегрирование по импульсам можно выполнить явно путём сдвига p_i(t)p_i(t) + m, в результате чего интеграл (7) принимает вид (4-6). В большинстве физ. задач условие (8) выполнено и представление (4-6) справедливо. Однако в общем случае необходимо пользоваться ф-лой (7).

Вычисление функциональных интегралов является очень сложной задачей. Регулярный способ вычисления существует лишь для интегралов гауссова типа, в к-рых подынтегральное выражение представляет собой экспоненту от неоднородной квадратичной формы. Такие интегралы вычисляются с помощью сдвига переменных интегрирования. Т. о., получаем ф-лу

( х, у- точки пространства-времени). Здесь оператор К(х-у) - симметричная ф-ция своих аргументов, К^-1 - обратный оператор, ф-ция h ( х )описывает внеш. источник. Эту ф-лу можно принять за определение гауссова функционального интеграла и доказать, что определённый так объект действительно обладает свойствами интеграла (допускает интегрирование по частям, замены переменных и т. д.).

Метод функционального интегрирования обобщается и на случай Ферми - Дирака статистики. В этом случае нужно считать переменные интегрирования антикоммути-рующими и пользоваться правилами интегрирования по ферми-полям (сформулированы Ф. А. Березиным, 1961).

Несмотря на то, что явно вычислить удаётся фактически лишь гауссовы интегралы, этого достаточно для метода теории возмущений в квантовой статистике и квантовой теории поля. С помощью функциональных интегралов были впервые получены правила Фейнмана (см. Фейнмана диаграммы )для вычисления матрицы рассеяния S в квантовой электродинамике. Осн. ф-лой, используемой в приложениях функциональных интегралов к задачам теории поля и статистич. механики, является представление в ак у у м н о г о с р е д н е г о хронологических произведений операторов ( Грина функций )в виде функционального интеграла

Из этой ф-лы можно получить выражение для S -матрицы и др. интересных физ. объектов.

Метод функционального интегрирования оказался особенно полезен в задачах, в к-рых необходимо суммировать большое (а иногда и бесконечное) число диаграмм. К таким задачам относятся вычисление инфракрасной и ультрафиолетовой асимптотик ф-ций Грина, исследование фазовых переходов, описание коллективных возбуждений в квантовой теории поля и в квантовой статистике.

Особое место занимает метод функционального интегрирования в теории калибровочных полей. С его помощью была впервые построена ковариантная теория возмущений для Янга - Миллса полей и квантовой теории гравитации, доказана перенормируемость неабелевых калибровочных теорий и решён ряд др. важных проблем.

Интегралы по траекториям используются также в классич. задачах теории вероятностей, напр. для анализа случайных шумов и в упоминавшейся теории броуновского движения.

Лит.: Березин Ф. А., Метод вторичного квантования, 2 изд., М., 1986; Фейнман Р., Хибс А., Квантовая механика и интегралы по траекториям, пер. с англ., М., 1968; Попов В. Н., Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической механике, М., 1976; Славнов А. А., Фаддеев Л. Д., Введение в квантовую теорию калибровочных полей, 2 изд., М., 1988.

А. А. Славнов.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.