УАЙТМЕНА ФУНКЦИИ

УАЙТМЕНА ФУНКЦИИ

(Вайтмана функции, Уайтмана функции) - вакуумные средние произведения гейзенберго-вых операторов поля (см. Гепзенберга представление).

Трудности стандартной лагранжево-гамильтоновой теории поля стимулировали в кон. 50-60-х гг. развитие аксиоматич. подхода, опирающегося не на явные ур-ния движения, а на нек-рые необходимые для любой разумной теории осн. свойства типа релятивистской инвариантности, причинности и др., требование выполнения к-рых налагается в форме аксиом (см. Аксиоматическая квантовая теория поля). Один из наиболее разработанных вариантов такого подхода связан с именем А. С. Уайт-мена (A. S.Wightman), к-рый выбрал в качестве осн. объекта оператор гейзенбергова поля A(x )(для простоты- одного и скалярного). Работать с операторнозначной обобщённой функцией А (х )не всегда удобно, поэтому в методе Уайтмена вводится параллельно бесконечная последовательность числовых обобщённых ф-ций (У. ф.)

и осн. аксиомы переводятся на язык этих ф-ций.

Чтобы гейзенбергово поле А (х )существовало в качестве обобщённого оператора в квантово-механич. гильбертовом пространстве, надо потребовать, чтобы У. ф. были бы обобщёнными ф-циями медленного роста.

Для вещественности поля A(X )должно выполняться соотношение

Инвариантность относительно неоднородных преобразований Лоренца влечёт требование

Условие причинности входит в аксиоматику Уайтмена в виде требования локальной коммутативности полей А (х )и А (у )в пространственно-подобных точках х и у, что на языке У. ф. требует

для

Следующая аксиома, по существу, содержит условие отсутствия тахионов; она требует, чтобы спектр 4-импуль-са (кроме точки О) был сосредоточен внутри светового конуса будущего. [4-импульс попадает в несодержащую ни лагранжева, ни гамильтонова формализма теорию из требования релятивистской инвариантности, т. е. через посредство унитарного оператора , преобразующего сам оператор поля А при пространственно-временном сдвиге на а:

Чтобы перевести эту аксиому на язык У. ф., удобно ввести фурье-образы (ФО):

Если учесть, что в силу (*) У. ф. зависят только от разностей координат:

то ФО можно представить в виде

где

В терминах ФО формулируется аксиома спектральности, к-рая требует, чтобы ф-ции (q₂, ..., q_n )были бы отличны от нуля только тогда, когда все q₂,..., q_n лежат в световых конусах будущего: только если все q_j>0 Наконец надо ещё потребовать, чтобы состояния, получающиеся из вакуума действием операторов поля А (х), обладали положит. нормой; это накладывает на У. ф. систему нелинейных ограничений: для любых N и любых пробных ф-ций n = 0, 1,...,N

Возможность работать с обобщёнными числовыми У. ф. определяется доказанной Уайтменом осн. теоремой о р е к о н с т р у к ц и и. Пусть W_n(x₁,..., x_n), n = 0,1, ... есть последовательность обобщённых ф-ций в пространстве 4п измерений, удовлетворяющих сформулированным выше условиям. Тогда существуют: гильбертово пространство , представление неоднородной группы Лоренца V (a,L), состояние вакуума и нейтральное скалярное поле А (х), такие, что средние по вакууму от произведений n операторов А(х )будут равны W_n(x₁, x₂,..., х _n).

Особенная плодотворность использования обобщённых У. ф. определяется теоремой, утверждающей, что каждая обобщённая У. ф. является граничным значением аналитич. ф-ции комплексных переменных z₂, ..., z_n, голоморфной в трубе будущего Im z_j>0, j = 2, ..., п, что позволяет использовать мощный аппарат теории ф-ций многих комплексных переменных.

Лит.:Wightman A. S., Quantum field theory in terms of vacuum expetation values, "Phys. Rev.", 1956, v. 101, p. 860; Швебер С., Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, пер. с англ., M., 1963; Йост Р., Общая теория квантованных полей, пер. с англ., M., 1967. Б. В. Медведев.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.