- КОВАРИАНТНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ
- КОВАРИАНТНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ
-
- обобщение градиента в случае криволинейных координат и неевклидовой геометрии. Градиент
тензора 
типа ( р, q )есть тензор 
типа ( р, q+1) относительно линейных замен координат. Для общих замен координат 
с 
тензором типа (р, q+1) будет К. п.
где Кристоффеля символы
определяются ф-лами преобразования
и наз. коэффициентами (дифференциально-геометрической) связности. В частности, для ковариантного Т k и контравариантного Т i векторов К. п. имеет вид
Для обозначения К. п. используют иногда символ
. К. п. удобно ввести тогда, когда явный вид преобразования объекта зависит от точки; отличие К. п. от градиента сосредоточено в связности и компенсирует изменения вида преобразования при переходе от точки к точке. Вообще говоря, К. п. некоммутативны, мерой некоммутативности служат кривизны тензор и тензор кручения. Впервые К. п. введены в кон. 19-нач. 20 вв. в работах Дж. Риччи (G. Ricci) и Т. Леви-Чивиты (Т. Levi-Civita).
К. п.- существенное понятие в римановой геометрии и общей теории относительности, где с её помощью определяются геодезическая линия, параллельный перенос и кривизны тензор. Важную роль играет К. п. в теориях калибровочных полей, электродинамике, теории Янга - Миллса полей и т. д. Напр., в электродинамике эл.-магн. и заряж. поля описываются комплексными ф-циями
, наблюдаемые величины не меняются при калибровочных преобразованиях
а веществ. ф-ция
служит координатой в зарядовом пространстве. С точки зрения геометрии обычное и зарядовое пространства образуют расслоение: его базой служит обычное пространство, а слоем над каждой точкой базы - одномерное зарядовое пространство с координатой 
. Образующие группу калибровочные преобразования действуют в слоях и сводятся к сдвигам координаты. Введение К. п.
компенсирует зависимость вида преобразования от точки базы: 
преобразуется так же, как 
При этом эл.-магн. поле является связностью в расслоении.
Лит.: Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; Схоутен Я. - А., Тензорный анализ для физиков, пер. с англ., М., 1965; С л а в-н о в А. А., Фаддеев Л. Д., Введение в квантовую теорию калибровочных полей, 2 изд., М., 1988; Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия, 2 изд., М., 1986. В. П. Павлов.
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.
.
