КВАТЕРНИОНЫ

КВАТЕРНИОНЫ
КВАТЕРНИОНЫ

- элементы множества И, представимые в виде 2501-74.jpg2501-75.jpg . Здесь 2501-76.jpg - веществ, числа, а (1, г, /, k)- образующие базиса в Н, удовлетворяющие соотношениям:

2501-77.jpg

Обозначения принадлежат У. Гамильтону (W. R. Hamilton), открывшему К. в 1843. В его честь для обозначения множества всех К. употребляется буква Н. Соотношение (1) можно записать в более компактной форме: пусть е 0, e1 , е 2, е 3 - образующие, тогда

2501-78.jpg

2501-79.jpg - Леви-Чивиты символ).

Умножение К. q на скаляр a и сложение К. определяются так же, как и для обычных векторов. Можно ввести произведение двух К. 2501-80.jpg ф-лой 2501-81.jpg= (иногда выделяют скалярную и векторную части 2501-82.jpg К.: 2501-83.jpg , тогда умножение векторных частей определяется ф-лой V1V2=-(V1V2)+[V1V2]). Тем самым множество H превращается в алгебру (алгебру кватернионов). Из соотношений (1) следует, что Н - некоммутативная, но ассоциативная алгебра. Алгебра Н содержит в виде подалгебры поле веществ. чисел R=2501-84.jpg и поле комплексных чисел 2501-85.jpg

Алгебра Н допускает изоморфное матричное представление с помощью Паули матриц:

2501-86.jpg

(здесь 2501-87.jpg

Для каждого К. 2501-88.jpg определён сопряжённый К. 2501-89.jpg и норма 2501-90.jpg Обратным кватернионом является 2501-91.jpg . Каждый ненулевой К. имеет обратный. Алгебра с таким свойством называется алгеброй с делением. Алгебра Н (наряду с полями R и С) является единств. ассоциативной алгеброй с делением (теорема Фробениуса). Список алгебр с делением замыкает алгебра октонионов (октав, чисел Кэли) - 8-мерная алгебра, в к-рой нарушена ассоциативность произведения. Наряду с веществ. и комплексными числами в разл. вопросах теории представлений групп, топологии и физики можно использовать К. Вращение трёхмерного пространства можно задать при помощи К. с нормой 1 (аналогично тому, как вращение плоскости задаётся комплексным числом с модулем 1).

Лит.: Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия, 2 изд., М., 1986; Казакова Г., Векторная алгебра, пер. с англ., М., 1979.

М. И. Монастырский.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. . 1988.


.

Смотреть что такое "КВАТЕРНИОНЫ" в других словарях:

  • КВАТЕРНИОНЫ — КВАТЕРНИОНЫ, тип абстрактного числа, найденный Уильямом ГАМИЛЬТОНОМ. Обычное комплексное число имеет форму а + bi (где а и b являются действительными числами, а i квадратный корень из 1). Кватернион имеет вид а + bi + cj + dk, где i, j и k… …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • Кватернионы — (англ. quaternion)  это система гиперкомплексных чисел, предложенная У. Р. Гамильтоном в 1843 году. Умножение кватернионов некоммутативно; они образуют тело, которое обычно обозначается . Кватернионы очень удобны для описания изометрий… …   Википедия

  • Кватернионы — (от лат. quaterni по четыре)         система чисел, предложенная в 1843 англ. учёным У. Гамильтоном. К. возникли при попытках найти обобщение комплексных чисел (См. Комплексные числа) х + iy, где х и у действительные числа, i базисная единица с… …   Большая советская энциклопедия

  • кватернионы — (фр. quaternion лат. quaterni по четыре) гиперкомплексные числа более общая, чем комплексные числа, система чисел, содержащая четыре единицы, для которых справедливы все основные законы действий, кроме коммутативного закона для умножения. Новый… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • Кватернионы и вращение пространства — Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей …   Википедия

  • Целые кватернионы — Кватернионы (англ. quaternion)  это система гиперкомплексных чисел, предложенная У. Р. Гамильтоном в 1843 году. Умножение кватернионов некоммутативно; они образуют тело, которое обычно обозначается . Кватернионы очень удобны для описания… …   Википедия

  • Верзор (Кватернионы) — см. Кватернионы …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Тождество Эйлера (кватернионы) — Тождество Эйлера о четырёх квадратах  математическая теорема о том, что произведение сумм четырёх квадратов является суммой четырёх квадратов. Действительно …   Википедия

  • Верзор — (Кватернионы) см. Кватернионы …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Кватернион — Кватернионы (от лат. quaterni, по четыре)  система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел. Кватернионы  минимальное расширение комплексных чисел, образующее тело,… …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «КВАТЕРНИОНЫ» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»