БОЛЬЦМАНА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

БОЛЬЦМАНА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

       

статистически равновесная ф-ция распределения по импульсам р и координатам r ч-ц идеального газа, молекулы к-рого движутся по законам классич. механики, во внеш. потенц. поле:

f(p, r) = Aехр{-(р2/2m+U(r))/kT}. (1)

Здесь p2/2m — кинетич. энергия молекулы массой m, U(r) — её потенц. энергия во внеш. поле, Т — абс. темп-pa газа. Постоянная А определяется из условия, что суммарное число ч-ц, находящихся в различных возможных состояниях, равно полному числу ч-ц в системе (условие нормировки).

Б. р. представляет собой частный случай канонического распределения Гиббса для идеального газа во внеш. потенц. поле, т. к. при отсутствии вз-ствия между ч-цами распределение Гиббса распадается на произведение Б. р. для отд. ч-ц. Б. р. при U=0 даёт Максвелла распределение. Ф-цию распределения (1) иногда наз. распределением Максвелла — Больцмана, а распределением Больцмана наз. ф-цию распределения (1), проинтегрированную по всем импульсам ч-ц и представляющую собой плотность числа ч-ц в точке r:

n(r)=n0ехр(-U/(r)/kT), (2)

где n0— плотность числа ч-ц системы в отсутствии внеш. поля. Отношение плотностей числа ч-ц в разл. точках зависит от разности значений потенц. энергии в этих точках

n1/n2=exp(-DU/kT), (3)

где DU= U(r1)-U(r2).

В частности, из (3) следует барометрич. ф-ла, определяющая распределение по высоте газа в поле тяготения над земной поверхностью. В этом случае DU=mgh, где g — ускорение свободного падения, т — масса ч-цы, h — высота над земной поверхностью. Для смеси газов с разл. массой ч-ц Б. р. показывает, что распределение парц. плотностей ч-ц для каждого из компонентов независимо от др, компонентов. Для газа во вращающемся сосуде U (r) определяет потенциал поля центробежных сил U (r)=-mw2r2/2, где w — угл. скорость вращения. На этом эффекте основано разделение изотопов и высокодисперсных систем при помощи ультрацентрифуги.

Для квант. идеальных газов состояние отд. ч-ц определяется не импульсами и координатами, а квант. уровнями энергии ?i ч-цы в поле U(r). В этом случае ср. число ч-ц в i-том квант. состоянии, или ср. число заполнения, равно:

ni=ехр((m-?i)/kT), (4)

где m — химический потенциал, определяемый из условия, что суммарное число ч-ц на всех квант. уровнях ?i равно полному числу ч-ц N в системе: Sini-=N.

Ф-ла (4) справедлива при таких темп-pax и плотностях, когда ср. расстояние между ч-цами значительно больше длины волны де Бройля, соответствующей ср. тепловой скорости, т. е. когда можно пренебречь не только силовым вз-ствием ч-ц, но и их взаимным квантовомеханич. влиянием (нет квант. вырождения газа. (см. ВЫРОЖДЕННЫЙ ГАЗ). Таким образом, Б. р. есть предельный случай как Ферми — Дирака распределения, так и Бозе — Эйнштейна распределения для газов малой плотности.

Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1983.