ИЗГИБ

ИЗГИБ

       

бруса, деформированное состояние, возникающее в брусе под действием сил и моментов, перпендикулярных его оси, и сопровождающееся её искривлением (об И. пластинки и оболочки (см. ПЛАСТИНКИ, ОБОЛОЧКА)). Возникающие при И. в поперечном сечении бруса норм. напряжения а приводятся к моменту М, перпендикулярному оси и наз. изгибающим моментом, а касат. напряжения т приводятся к поперечной силе Q и крутящему моменту Mкр (см. КРУЧЕНИЕ). Изгибающий момент, поперечная сила и крутящий момент определяются через внеш.. нагрузки (включая реакции опор) из условия равновесия части бруса, расположенного по одну сторону от рассматриваемого сечения. Так, если брус нагружён в точках А и D (рис. 1) силами Р и опирается в точках В и С, то силы реакции в опорах также равны Р. Если мысленно рассечь брус в точке К на расстоянии z от точки А и рассматривать равновесие части бруса А К, заменив действие правой части поперечной силой Q и изгибающим моментом М, найдём, что Q=-Р, а M=-Pz. Аналогично определяют Q и М в любых др. сечениях бруса. Крутящий момент при И. бруса не возникает, если линия действия силы проходит через т. н. центр изгиба, в частности если сила направлена вдоль оси симметрии у поперечного сечения (рис. 2, а).

Рис. 1. а — схема изгиба бруса; б и в — графики изменения поперечной силы Q и изгибающего момента М по длине бруса.

И., при к-ром в поперечном сечении возникает только изгибающий момент, наз. чистым; если помимо изгибающего момента возникает поперечная сила, то он наз. п о п е р е ч н ы м. Так, в интервале ВС (рис. 1, а) — чистый И., а в интервалах АВ и CD — поперечный.

Рис. 2. Распределение напряжений при изгибе бруса с поперечным сечением, изображённым на рис. а; б — при упругой деформации; в — при упругопластической деформации; г — остаточные напряжения после упругопластической деформации.

При чистом И. первоначально параллельные поперечные сечения наклоняются друг к другу, оставаясь плоскими; продольные волокна, расположенные на выпуклой стороне, удлиняются, на вогнутой — укорачиваются. Промежуточный слой, волокна к-рого не изменяют своей длины, наз. нейтральным слоем. Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения наз. нейтральной осью И.

В упругом брусе в точке с координатами х, у

s= (Мх/Ix)y+ (My/Ix)z

где Мх, My — компоненты момента М в осях, совпадающих с главными центральными осями инерции поперечного сечения; IxIy — моменты инерции поперечного сечения относительно этих осей. Для вычисления составляющих касат. напряжений ty, параллельных поперечной силе, пользуются прибл. ф-лой: ty=QS/Ixb, где S — статич. момент относительно оси х части поперечного сечения, расположенной выше (ниже) рассматриваемой точки, b — ширина сечения на уровне рассматриваемой точки.

С увеличением действующих нагрузок в наиболее напряжённых точках бруса могут возникнуть пластич. деформации, если интенсивность напряжений sн будет равна или больше предела текучести ss. При чистом И. пластич. деформации наступят прежде всего в волокнах, наиболее удалённых от нейтральной оси. С увеличением изгибающего момента область пластич. деформаций будет увеличиваться; норм. напряжения будут распределены нелинейно. При снятии изгибающего момента возникают остаточные напряжения (рис. 2).

Характерная деформация бруса в целом при И.— искривление оси, количеств, мерой к-рого явл. кривизна c. В упругом брусе c в плоскости yz определяется ф-лой:

c=Мх/ЕIх,

где EIх — жёсткость при изгибе в плоскости yz, Е — модуль упругости материала.

Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1983.

ИЗГИБ

- вид деформации, характеризующийся изменением кривизны оси (бруса, балки, стержня) или срединной поверхности ( пластинки, оболочки )под действием внеш. сил или темп-ры. <Применительно к прямому брусу различают плоский (прямой), косой, чистый, поперечный и продольный И. Плоский И. возникает, когда силы, изгибающие брус, совпадают с одной из его гл. плоскостей, т. е. плоскостей, проходящих через ось бруса и гл. оси инерции его поперечных сечений. Косой И. возникает, если силы, изгибающие брус, лежат в плоскости, проходящей через ось бруса, но не совпадающей ни с одной из его главных плоскостей. Чистый И. происходит под действием только пар сил (изгибающих моментов),

Рис. 1. Изгиб бруса: a - чистый; б - поперечный; в - продольный.

напр. в случае приложения к концам бруса двух равных по величине и противоположных по направлению моментов М (рис. 1, а). Поперечный И. происходит как под действием изгибающих моментов, так и поперечных сил, напр., в случае действия на брус сосредоточенных сил (рис. 1, б). Продольный И. возникаетпод действием на стержень продольных сжимающих сил F (рис. 1, в), при достижении к-рыми нек-рых величин ( критических сил )может произойти потеря устойчивости равновесия (см. Продольный изгиб, Устойчивость упругих систем). Изучение И. производится в предположении, что поперечные сечения бруса, плоские до И., остаются плоскими и после него (гипотеза плоских сечений), что продольные волокна бруса при И. не сжимают друг друга и не стремятся оторваться одно от другого. Получаемые при этом расчётные ф-лы применимы, если поперечные размеры бруса малы по сравнению с его длиной и отсутствуют резкие изменения поперечных сечений бруса. <При чистом И. в сечениях бруса действуют только изгибающие моменты и притом постоянной величины, поэтому, если из прямого бруса, работающего в упругой области (рис. 2, а), выделить двумя поперечными сечениями элемент длиной ds, то действие отброшенных частей бруса на элемент ds можно заменить равными моментами М.

Рис. 2.а- брус, работающий в условиях чистого изгиба; б - элемент бруса ds после деформации; в - сечение бруса; г - эпюра .

При И. поперечные сечения, расположенные по концам элемента ds, наклоняются одно к другому, оставаясь плоскими (рис. 2, б), а продольные волокна, расположенные на выпуклой стороне элемента, удлиняются, на вогнутой - укорачиваются; промежуточный слой, волокна к-рого не изменяют своей длины, наз. нейтральным слоем. Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью любого поперечного сечения наз. нейтральной линией. При И. прямого бруса нейтральный слой проходит через центры тяжести поперечных сечений и наз. нейтральной осью (линия О-О на рис. 2, в). В сечении по одну сторону от нейтральной оси возникают растягивающие, а по другую - сжимающие нормальные напряжения s, возрастающие по мере удаления от нейтральной оси по линейному закону (рис. 2, г)s=Му/I, где y - расстояние от нейтральной оси до рассматриваемого волокна поперечного сечения, а I - момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси. Для балок из материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие, в поперечных сечениях, симметричных относительно нейтральной оси, наибольшие нормальные напряжения в крайних волокнах определяются по ф-ле: s=bM/W, где W=2I/h - момент сопротивления поперечного сечения, h/2 - половина высоты сечения. <При поперечном И. в сечениях бруса действуют как изгибающий момент, так и поперечная сила, к-рые в зависимости от вида нагрузок изменяются по длине бруса. Характер их изменения изображается графически с помощью эпюр изгибающих моментов М и поперечных сил Q (рис. 3). В поперечных сечениях кроме нормальных напряжений а возникают также касательные напряжения т. Нормальные напряжения определяются теми же ф-лами, как и при чистом И. Касательные напряжения т для заданной точки бруса (рис. 4) получаются равными в площадках, расположенных в плоскости поперечного сечения, и в площадках, параллельных нейтральному слою: по ширинесечения касательные напряжения принимаются одинаковыми и определяются ф-лой Журавского: t=QS/Ib, где Q - поперечная сила в сечении, S - статич. момент относительно нейтральной оси той части сечения, к-рая лежит выше (или ниже) рассматриваемой точки, ">b - ширина сечения на уровне этой точки. Наибольшие t имеют место у нейтральной оси бруса.

Рис. 3. Эпюры М и Q для балки, нагруженной одним сосредоточенным грузом Р и равномерно распределённой нагрузкой интенсивностью q.

При И. ось бруса искривляется, её кривизна определяется выражением 1/r=M/EI, где r -радиус кривизны изогнутой оси в рассматриваемом сечении, Е - модуль продольной упругости материала (модуль Юнга). Ордината v изогнутой оси наз. прогибом в данной точке. При малых прогибах первоначально прямых брусьев зависимость между прогибом и изгибающим моментом выражается ур-нием: d²v/dx²=M/EI, интегрированием к-рого находят выражение для изогнутой оси бруса v=f(x).

Рис. 4. Касательные напряжения при поперечном изгибе бруса: а - элемент ABB₁A₁, вырезаемый из бруса при исследовании касательных напряжений; б - сечение бруса; в - эпюра касательных напряжений.

Косой И. сводится к сочетанию двух плоских И., к-рые получаются разложением внешних сил (или изгибающих моментов) на составляющие по гл. осям инерции сечения. Нормальные напряжения обоих плоских И. складываются алгебраически и для произвольной точки сечения выражаются ф-лой:

s=(M_x/I_x).y+(M_y/I_y).x,

где М _х, M_y - изгибающие моменты в сечении относительно гл. осей х и у; I_x, 1 _у- моменты инерции сечения относительно гл. осей; х, у - координаты той точки поперечного сечения, в к-рой определяется напряжение. <В кривых брусьях большой кривизны, у к-рых отношение радиуса кривизны r к высоте сечения h меньше 4-6, наличие кривизны резко сказывается на распределении напряжений. При чистом И. такого бруса нейтральная ось смещается от геометрич. оси к центру кривизны бруса, нормальные напряжения распределяются по высоте сечения по гиперболич. закону (рис. 5, а) и резко возрастают по мере приближения к внутр. краю бруса.

Рис. 5. Распределение напряжений: а - при чистом изгибе бруса большой кривизны; б - в крюке подъёмного приспособления.

Напр., для крюка подъёмного приспособления наибольшие напряжения возникают в сечении т - п (рис. 5, б) и складываются из двух частей: от растяжения силой Р и от И. моментом М=Рr, где Р - нагрузка на крюк, r - радиус кривизны оси бруса в области сечения т - п. Для произвольной точки сечения т - п нормальные напряжения определяются ф-лой:

s=P/F+(M/S)(y/(r-y)),

где F - площадь поперечного сечения, S- статич. момент этой площади относительно нейтральной линии, у - расстояние от рассматриваемой точки до нейтральной оси, r - радиус кривизны нейтрального слоя, зависящий от формы и размеров поперечного сечения и кривизны бруса. <И. бруса с учётом пластич. деформаций можно исследовать приближённо, принимая, что материал одинаково работает на растяжение и сжатие, и беря наиболее простую зависимость между напряжениями и деформациями, напр., в виде ломаной линии, состоящей из наклонного участка при упругой и горизонтального - при пластич. деформации (рис. 6). При постепенном возрастании нагрузки в сечении с наибольшим изгибающим моментом сначала возникают упругие деформации, затем в крайних точках сечения появляются пластич. области (рис. 7), к-рые, постепенно увеличиваясь, полностью охватывают обе половины сечения. Такое состояние наз. пластическим шарниром; ему соответствует предельный изгибающий момент, по которому определяют предельную нагрузку на брус.

Рис. 6. Зависимость между напряжением s и деформацией e при упругопластическом изгибе бруса.

Рис. 7. Возникновение пластического шарнира в сечении с наибольшим изгибающим моментом.

При точном исследовании И. с учётом пластич. деформаций пользуются более сложными методами, изучая весь процесс деформирования бруса, его разгрузку и повторное нагружение. Исследование осложняется при необходимости учитывать влияние на И. времени, высоких темп-р, а также специфич. свойств материала, напр, в случае брусьев, выполняемых из пластмасс, следует учитывать реологич. эффекты (см. Реология). Лит.: Беляев Н. М., Сопротивление материалов, 15 изд., М., 1976; Тимошенко С. П., Г у д ь е р Д ж., Теория упругости, пер. с англ., М., 1975; Терегулов И. Г., Сопротивление материалов и основы теории упругости и пластичности, М., 1984.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.