ПУСТОЕ

ПУСТО́Е

(в математике и логике) – то же, что "не содержащее элементов (членов)". Так, П. множество (или класс) – это "множество" (соответственно "класс"), не имеющее (-ий) элементов; П. слово (в формализованных языках математики и математич. логики) – "слово", "состоящее" из нуля букв, и т.п. Эпитет "П." прилагается, т.о., к "несобственным" (т.е. в несобств. смысле слова) объектам, вводимым в рассмотрение в соответств. теориях примерно в силу тех же причин (и играющих в них ту же роль), что число 0 в арифметике положит. чисел (англ. термин "null" в качестве прилагательного просто является синонимом для "empty"). Напр., (1) сумма (объединение) любого множества и П. множества равна данному множеству; (2) пересечение (теоретико-множеств. аналог произведения) любого множества и П. множества есть П. множество; (3) подобно тому как 0 не превосходит никакого натурального числа, П. множество есть подмножество ("несобственное") любого множества (в т.ч. и самого себя). К рассмотрению П. объектов приводят прежде всего соображения технич. удобства – они делают ненужными многочисленные и громоздкие оговорки (типа "если таковые существуют" и т.п.) в формулировках различных предложений; в ряде случаев невозможность (или хотя бы неумение) решить вопрос о пустоте или непустоте к.-л. конкретного объекта теории делала бы такие оговорки неизбежными, что, очевидно, осложнило бы (хотя и не принципиальным образом) построение теории.

Э к с т е н с и о н а л ь н о е (объемное) понимание "пустоты" можно охарактеризовать и и н т е н с и о н а л ь н о (с т. зр. содержания), напр., как противоречивость нек-рого понятия; так, П. множеством можно, по определению, называть множество всех таких х, что х ≠ х. Но никакая такая интенсиональная характеристика не исчерпывает полностью экстенсиональной, поскольку фактически истинное предложение о пустоте нек-рого класса не обязательно является и логически истинным (пример: класс жителей Луны; см. Логическая истинность, Фактическая истинность).

Онтологич. допущение (иногда неявное) о непустоте тех или иных классов (или предметных областей) играет важную роль в логике. Напр., такое "очевидное" предложение, как VхА(х)^BxA(x) ("если все x обладают св-вом А, то существует х, обладающий свойствами A"), на П. предметной области оказывается ложным (в этом случае предложение VхА(х) истинно, а предложение ΞxA(x) ложно для любого предиката А). Поэтому т.н. универсальную общезначимость предложения VxA(x)^BxA(x) узкого предикатов исчисления следует понимать как его общезначимость в любой непустой предметной области, описываемой с помощью этого исчисления. (Вообще непустота предметной области предполагается для исчисления предикатов в качестве исходного "онтологического" допущения.) Др. пример: 4 из 19 правильных (с т. зр. аристотелевой силлогистики) модусов категорич. силлогизма основываются на такой интерпретации общеутвердит. высказываний вида "Все А суть B", согласно к-рой класс истинности А не является пустым. В рамках классич. логики П. класс есть дополнение универсального класса. Это обстоятельство вместе с естеств. аналогией между логич. предложениями (или формулами) и их "множествами (классами) истинности" [т.е. множествами (классами) предметов, для к-рых они истинны], согласно к-рой П. множество ставится в соответствие (тождественно-) ложному высказыванию, а универсальное – (тождественно-) истинному, обусловливает далеко идущие аналогии между логич. и теоретико- множественными (теоретико-классовыми) понятиями и предложениями. Примерами могут служить хотя бы упомянутые выше предложения; (1)–(3) и соответственно предложения: (l') дизъюнкция любого предложения с ложным эквивалентна данному предложению; (2') конъюнкция любого предложения с ложным – ложна; (3') из ложного предложения следует любое предложение. При вероятностной интерпретации понятий теории множеств (и теоретико-множеств. обосновании теории вероятностей, см. Вероятность, Вероятностная логика) аналогом понятия П. множества служит понятие невозможного события. Эпитет "П." применяется естеств. образом и к др. объектам, рассматриваемым в логике и математике (хотя любое такое применение, при всей своей естественности, должно быть, строго говоря, специально оговорено, чтобы считаться осмысленным), напр., "выводимость из П. посылки" есть синоним "доказуемости" (см. Вывод в математической логике).

Ю. Гастев. Москва.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия. Под редакцией Ф. В. Константинова. 1960—1970.