ВРОНСКИАН

определитель Вроньского,- определитель системы пвектор-функций размерности п

имеющий вид:

В. системы n скалярных функций

имеющих производные до ( п-1)-го порядка включительно, есть определитель

Это понятие было введено Ю. Вроньским [1].

Если вектор-функции (1) линейно зависимы на множестве Е, то

если скалярные функции (2) линейно зависимы на множестве Е, то

Обратные утверждения, вообще говоря, неверны: тождественное обращение В. в нуль на нек-ром множестве не является достаточным условием линейной зависимости пфункций на этом множестве.

Пусть вектор-функции (1) суть решения линейной однородной системы n-го порядка с непрерывной на интервале -матрицей . Если эти решения составляют фундаментальную систему, то

Если В. этих решений равен нулю хотя быв одной точке I, то он тождественно равен нулю на I, а функции (1) линейно зависимы. Имеет место формула Лиувилля:

где - след матрицы .

Пусть функции (2) суть решения линейного однородного уравнения n-ro порядка

с непрерывными на интервале I коэффициентами. Если эти решения составляют фундаментальную систему, то

Если В. этих решений равен нулю хотя бы в одной точке I, то он тождественно равен нулю на I, а функции (2) линейно зависимы. Имеет место формула Лиувилля:

Лит.:[1] Ноёne-Wrоnski J., Refutation de la thforie des functions analitiqucs de Lagrange, P., 1812; [2] Понтpягин Л. С.. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974. Н. X. Розов.