- ВИТАЛИ ТЕОРЕМА
- 1) В. т. о покрытии. Если система замкнутых множеств
является покрытием Витали (см. ниже) множества 
, то из 
можно выделить не более чем счетную последовательность попарно непересекающихся множеств 
, i= 1, 2, 3, . . . , такую, что
где т е - внешняя мера Лебега в
.
Покрытием В и та-ли множества
наз. система 
подмножеств 
такая, что для любого хEА существует последовательность 
из 
, удовлетворяющая условиями
где sup берется по всем I - кубам с гранями, параллельными координатным плоскостям, содержащим
, и 
- внешняя мера Лебега в 
(этот sup наз. параметром регулярности 
).
Теорема была доказана Дж. Витали [1] в случае, когда {F} состоит из кубов с гранями, параллельными координатным плоскостям. Условие, что
есть покрытие Витали множества А, а не покрытие в обычном смысле, существенно для справедливости В. т. Это условие не может быть опущено, даже если 
есть система сегментов и каждому 
соответствует последовательность 
из 
с центром в хи диаметрами, стремящимися к нулю.
Лит.:[1] Vitali G., "Atti Accad. sci. Torino", 1908, v. 43, p. 75-92; [2] Сакс С., Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949. И. А. Виноградова.
2) В. т. о равномерной сходимости последовательности голоморфных функций: пусть последовательность
голоморфных функций в области Dкомплексной плоскости z равномерно ограничена и сходится на множестве 
, обладающем предельной точкой в D;тогда последовательность 
равномерно сходится внутри D к регулярной функции, т. е. равномерно сходится на любом компактном множество 
. Получена Дж. Витали [1].
Компактности принцип позволяет усилить В. т., заменив в ее условии требование равномерной ограниченности в Dтребованием равномерной ограниченности внутри D, т. е. на любом компактном множестве
Имеются также обобщения В. т. для нормальных семейств мсроморфных функций, для семейств квазиана-литич. функций и для семейств голоморфных функций многих комплексных переменных; в последнем случае, однако, на множество 
необходимо наложить дополнительные ограничения, напр., что Есодержит внутренние точки в С n (см. [3], [4]).
Лит.:[1] Vitali G., "Rend, del R. 1st. Lombardo" 2 ser., 1903, v. 36, p. 772; "Ann. mat. pura ed appl.", 3 ser., 1904 v. 10, p. 73; [2] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, т. 1, 2 изд., М., 1967, гл. 4; [3] Монтель П. Нормальные семейства аналитических функций, пер. с франц. М.-Л., 1936; [4] Ганнинг Р., Росси X., Амалити ческие функции многих комплексных переменных, пер. с англ. М., 1969. Е. Д. Соламенцев
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
