- АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ АБСТРАКТНАЯ
аналитическое отображение банаховых пространств,- функция
действующая из нек-рой области Dбанахова пространства Xв банахово пространство Y и дифференцируемая по Фреше всюду в D, т. е. такая, что для каждой точки
существует ограниченный линейный оператор
из
, для к-рого выполняется соотношение:
где
обозначает норму в
;
наз. дифференциалом Фреше функции f в точке а.
Другой подход к понятию А. ф. а. возникает из дифференцируемости по Гато. Функция f(x).из Dв Yназ. слабо аналитической в D, илп дифференцируемой по Гато в D, если для каждого линейного непрерывного функционала у' над пространством Yи каждого элемента
комплексная функция
является голоморфной функцией комплексного переменного
в круге
где
Всякая А. ф. а. в области Dнепрерывна и слабо аналитична в D. Обратное также верно, причем условие непрерывности можно заменить локальной ограниченностью или непрерывностью по Бэру.
Термин "А. ф. а." иногда используется в более узком смысле, когда под ним понимается функция
комплексного переменного
со значениями в банаховом или даже линейном локально выпуклом топологич.
пространстве Y. В этом случае всякая слабо аналитич. функция
в области Dплоскости комплексного переменного
является А. ф. а. Можно также сказать, что функция
будет А. ф. а. в области
тогда и только тогда, когда
непрерывна в
и для любого простого замкнутого спрямляемого контура
интеграл
обращается в нуль. Для А. ф. а.
комплексного переменного z справедлива интегральная формула Кошп (см. Коши интеграл). Пусть
- слабо аналитич. функция в области Dбанахова пространства X. Тогда
, как функция комплексного переменного
, имеет производные всех порядков в области
причем эти производные суть А. ф. а. из D в Y. Если множество
принадлежит D, то
где ряд сходится по норме и
Функция у=Р (х).из Xв Yназ. полиномом относительно переменного хстепени не выше т, если для всех
и для всех комплексных
где функции
не зависят от
. Степень
точно равна т, если
Степенным рядом наз. ряд вида
- однородные полиномы степени птакие, что
=
для всех комплексных
. Всякий слабо сходящийся степенной ряд
в области Dсходится и по норме к нек-рой слабо аналитической функции
, причем
. Функция
является А. ф. а. в Dтогда и только тогда, когда в окрестности каждой точки
она разлагается в степенной
ряд где все
непрерывны в X.
На А. ф. а. переносятся с соответственными изменениями многие основные результаты классич. теории аналитич. функций такие, как максимума модуля принцип, теоремы единственности, Витали теорема, Лиувил. <ля теорема и др. Множество всех А. ф. а. в области Dобразует линейное пространство.
Понятие А. ф. а. обобщается и на более широкие классы пространств Xи Y, напр, на локально выпуклые топологич. пространства, банаховы пространства над произвольным полным нормированным полем и т. <д.
Лит.: [1] Xилле Э., Филлипс Р., Функциональный анализ и полугруппы, пер. с англ., 2 изд., М., 1962; [2] Эдвардс Р.-Э., Функциональный анализ. Теория и приложения, пер. с англ., М., 1969; [3] Шварц Л., Анализ, пер. с англ., Т. 2, М., 1972. А. А. Данилееич, Е. Д. Коломенцев.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.