ВИНЕРА - ХОПФА УРАВНЕНИЕ

интегральное уравнение на пол'упрямой с ядром, зависящим от разности аргументов:

Уравнения такого типа часто возникают в задачах математич. физики, напр, в теории переноса излучения (проблема Милна), в теории дифракции (дифракция на полуплоскости, задача береговой рефракции).

Впервые исследования уравнения (1) были проведены в работах [1] и [2], где был развит метод факторизации (см. Винера-Хопфа метод). Именно идея факторизации явилась решающей для построения теории интегральных уравнений вида (1). В. -X. у. в предположении четности и экспоненциального убывания ядра рассматривались в [3].

Формальная схема решения В. - Х. у. состоит в следующем. Пусть

тогда уравнение (1) можно записать на всей бесконечной прямой:

Если выполнены условия, при к-рых существует преобразование Фурье всех функций, входящих в уравнение (2):

то с помощью преобразования Фурье уравнение (2) сводится к функциональному уравнению

где - неизвестные функции. Метод Винера - Хопфа позволяет решить уравнение (3) для определенного класса функций. При этом обязательно должно выполняться условие: Для несимметричного ядра в теории уравнения (1) особую роль играет индекс уравнения:

Если то: при неоднородное уравнение (1) имеет единственное решение; при однородное уравнение (1) имеет v линейно независимых решений; при неоднородное уравнение (1) либо не имеет решения, либо имеет единственное) решение при условии:

где - линейно независимые решения транспонированного однородного уравнения (1)

Лит.:[1] Wiener N.. Hopf Е., Uber eine Klasse singularer Integralgleichungen, "Sitz. Akad. Wiss.", В., 1931; [2] Hopf E., Mathematical problems of radiative equilibrium, Camb., 1934; [3] Фок В. А., "Матем. сб.", 1944, т. 14, № 1-2, с. 3-50; [4] Нобл В., Применение метода Винера - Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных, пер. с англ., М., 1962. В. И. Дмитриев.