ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ


ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

- раздел векторного исчисления, в к-ром изучаются векторные поля и скалярные поля.

Одним из основных понятий В. а. для изучения скалярных полей является градиент. Скалярное поле и(М).наз. дифференцируемым в точке Мобласти D, если приращение поля в точке Мможет быть представлено в виде:

где - вектор, соединяющий точку , - расстояние между точками , а -линейная форма относительно вектора . Линейная форма единственным образом может быть представлена в следующем виде:

где - не зависящий от (т. е. выбора точки М') вектор. Вектор наз. градиентом скалярного поля и обозначается символом В случае, когда скалярное поле дифференцируемо в каждой точке век-рой области, является векторным полем. Градиент всегда направлен ортогонально линии (поверхности) уровня скалярного поля ис производной по направлению связан соотношением:


Для изучения векторных полей используется понятие дивергенции и ротора. Пусть векторное поле наз. дифференцируемым в точке Мнек-рой области D, т . е. приращение поля в точке Мединственным образом может быть представлено в виде:


где - линейный оператор, не зависящий от (от выбора точки ). Дивергенцией div авекторного поля наз. следующий скалярный инвариант линейного оператора :

(*)

где - взаимные базисы (- символ Кронекера). Если - поле скоростей в установившемся потоке несжимаемой жидкости, то в точке Мозначает интенсивность источника () или стока (), находящихся в точке М, или отсутствие их ().

Вихрем (ротором) векторного поля наз. следующий векторный инвариант линейного оператора Аиз (*):


где - взаимные базисы. Вихрь векторного поля может быть интерпретирован как векторная "вращательная составляющая" этого поля.

Для векторных и скалярных полей класса возможны повторные операции, напр.:


где - оператор Лапласа.

Градиент, дивергенция и вихрь обычно наз. основными дифференциальными операциями В. а. О свойствах основных дифференциальных операций В. а. и записи в специальных системах координат см. Вихрь, Градиент, Дивергенция.

В терминах основных операций В. а. могут быть записаны основные интегральные формулы, связывающие объемные, поверхностные и контурные интегралы. Пусть векторное поле непрерывно дифференцируемо в конечной связной области V, граница L - кусочно гладкая.

Пусть S - ограниченная, полная, кусочно гладкая двусторонняя поверхность с кусочно гладкой границей . Тогда справедлива Стокса формула:


причем нормальный к Sвектор n и касательный к dS вектор должны определять согласованные ориентации поверхности и края . Интеграл наз. циркуляцией векторного поля по кривой . Если циркуляция векторного поля по любой замкнутой кусочно гладкой кривой, расположенной в нек-рой области, равна нулю, то векторное поле наз. потенциальным в этой области. В односвязной области векторное поле потенциальное, если Для потенциального векторного поля существует так наз. скалярный потенциал - функция такая, что при этом


где точки - кусочно гладкая кривая, - единичный вектор касательной к - дифференциал дуги.

Пусть векторное поле непрерывно и дифференцируемо в конечной связной области V с кусочно гладкой границей , тогда справедлива Остроградского формула:


где - вектор внешней нормали к .

Интеграл наз. потоком векторного поля через поверхность . Если поток векторного поля через любую замкнутую кусочно гладкую несамо-пересекающуюся ориентированную поверхность, расположенную в V т представляющую собой границу яек-рой ограниченной подобласти области V, равен нулю, то векторное поле наз. соленондальным в области V. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное поле было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках V. Для соленоидального векторного поля существует так наз. векторный потенциал - функция (М).такая, что


Если дивергенция и вихрь векторного поля определены в каждой точке Мобласти D, то всюду в Dвекторное поле может быть представлено в виде суммы потенциального и соленоидального полей (теорема Гельмгольца):


Векторные поля, для к-рых , , наз. гармоническими. Потенциал гармонич. поля удовлетворяет уравнению Лапласа. Скалярное поле также наз. гармоническим.

Лит. см. при статье Векторное исчисление. А. Б. Иванов.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ" в других словарях:

  • ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ — ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ, изучение математических свойств ВЕКТОРОВ. Результат сложения двух векторов диагональ параллелограмма, сторонами которого служат первоначальные векторы, выходящие из одной точки. Умножение вектора на СКАЛЯР а дает вектор с тем же …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • Векторный анализ — раздел математики, распространяющий методы математического анализа на векторы в двух или более измерениях. Содержание 1 Сфера применения 2 Векторные операторы …   Википедия

  • векторный анализ — vektorinė analizė statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. vector analysis vok. Vektoranalyse, f rus. векторный анализ, m pranc. analyse vectorielle, f …   Automatikos terminų žodynas

  • векторный анализ — vektorinė analizė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. vector analysis vok. Vektoranalyse, f rus. векторный анализ, m pranc. analyse vectorielle, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Векторный потенциал — У этого термина существуют и другие значения, см. Потенциал. Эта статья  о математическом термине. О физическом см. векторный потенциал электромагнитного поля. В векторном анализе векторный потенциал  это векторное поле,… …   Википедия

  • Анализ функций многих переменных — Эта статья или раздел  грубый перевод статьи на другом языке (см. Проверка переводов). Он мог быть сгенерирован программой переводчиком или сделан человеком со слабыми познаниями в языке оригинала. Вы можете помочь …   Википедия

  • Векторный подход к психотерапии (vector approach to psychotherapy) — В. п. п. постулирует, что все многообразие терапий по существу распределяется по 6 осн. векторам, или модальностям, указывающим направление роста. Выбирая один из мн. терапевтических методов, осн. на этих векторах, эклектически ориентированный… …   Психологическая энциклопедия

  • Математический анализ — У этого термина существуют и другие значения, см. Анализ. Математический анализ  совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. При столь общей… …   Википедия

  • Векторное исчисление — Векторное исчисление  раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами[1]. В связи с разнообразием особенностей векторов, зависящих от пространства, в котором они исследуются, векторный анализ подразделяется на… …   Википедия

  • Векторное поле — Векторное поле  это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие вектор с началом в этой точке. Например, вектор скорости ветра в данный момент времени изменяется от точки к точке и может быть описан… …   Википедия

Книги

  • Векторный анализ, Валентинер С.. Эта книга будет изготовлена в соответствии с Вашим заказом по технологии Print-on-Demand. Векторный анализ раздел математики, распространяющий методы математического анализа на векторы в… Подробнее  Купить за 1475 руб
  • Векторный анализ, Валентинер С.. Векторный анализ раздел математики, распространяющий методы математического анализа на векторы в двух или более измерениях. Векторный анализ является математической дисциплиной почти столь же… Подробнее  Купить за 1369 грн (только Украина)
  • Векторный анализ, С.П. Фиников. Эта книга будет изготовлена в соответствии с Вашим заказом по технологии Print-on-Demand. Векторный анализ является математической дисциплиной почти столь же наглядной, как и сама геометрия;… Подробнее  Купить за 1363 руб
Другие книги по запросу «ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.