- ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
- раздел векторного исчисления, в к-ром изучаются векторные поля и скалярные поля.
Одним из основных понятий В. а. для изучения скалярных полей является градиент. Скалярное поле и(М).наз. дифференцируемым в точке Мобласти D, если приращение поля
в точке Мможет быть представлено в виде:
где
- вектор, соединяющий точку
,
- расстояние между точками
, а
-линейная форма относительно вектора
. Линейная форма
единственным образом может быть представлена в следующем виде:
где
- не зависящий от
(т. е. выбора точки М') вектор. Вектор
наз. градиентом скалярного поля и обозначается символом
В случае, когда скалярное поле дифференцируемо в каждой точке век-рой области,
является векторным полем. Градиент всегда направлен ортогонально линии (поверхности) уровня
скалярного поля ис производной по направлению
связан соотношением:
Для изучения векторных полей используется понятие дивергенции и ротора. Пусть векторное поле
наз. дифференцируемым в точке Мнек-рой области D, т . е. приращение поля
в точке Мединственным образом может быть представлено в виде:
где
- линейный оператор, не зависящий от
(от выбора точки
). Дивергенцией div авекторного поля
наз. следующий скалярный инвариант линейного оператора
:
(*)
где
- взаимные базисы
(
- символ Кронекера). Если
- поле скоростей в установившемся потоке несжимаемой жидкости, то
в точке Мозначает интенсивность источника (
) или стока (
), находящихся в точке М, или отсутствие их (
).
Вихрем (ротором)
векторного поля
наз. следующий векторный инвариант линейного оператора Аиз (*):
где
- взаимные базисы. Вихрь векторного поля может быть интерпретирован как векторная "вращательная составляющая" этого поля.
Для векторных и скалярных полей класса
возможны повторные операции, напр.:
где
- оператор Лапласа.
Градиент, дивергенция и вихрь обычно наз. основными дифференциальными операциями В. а. О свойствах основных дифференциальных операций В. а. и записи в специальных системах координат см. Вихрь, Градиент, Дивергенция.
В терминах основных операций В. а. могут быть записаны основные интегральные формулы, связывающие объемные, поверхностные и контурные интегралы. Пусть векторное поле непрерывно дифференцируемо в конечной связной области V, граница L - кусочно гладкая.
Пусть S - ограниченная, полная, кусочно гладкая двусторонняя поверхность с кусочно гладкой границей
. Тогда справедлива Стокса формула:
причем нормальный к Sвектор n и касательный к dS вектор
должны определять согласованные ориентации поверхности
и края
. Интеграл наз. циркуляцией векторного поля
по кривой
. Если циркуляция векторного поля по любой замкнутой кусочно гладкой кривой, расположенной в нек-рой области, равна нулю, то векторное поле наз. потенциальным в этой области. В односвязной области векторное поле потенциальное, если
Для потенциального векторного поля существует так наз. скалярный потенциал - функция
такая, что
при этом
где точки
- кусочно гладкая кривая,
- единичный вектор касательной к
- дифференциал дуги.
Пусть векторное поле
непрерывно и дифференцируемо в конечной связной области V с кусочно гладкой границей
, тогда справедлива Остроградского формула:
где
- вектор внешней нормали к
.
Интеграл наз. потоком векторного поля
через
поверхность
. Если поток векторного поля через любую замкнутую кусочно гладкую несамо-пересекающуюся ориентированную поверхность, расположенную в V т представляющую собой границу яек-рой ограниченной подобласти области V, равен нулю, то векторное поле
наз. соленондальным в области V. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное поле было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы
во всех точках V. Для соленоидального векторного поля
существует так наз. векторный потенциал - функция (М).такая, что
Если дивергенция и вихрь векторного поля определены в каждой точке Мобласти D, то всюду в Dвекторное поле может быть представлено в виде суммы потенциального
и соленоидального
полей (теорема Гельмгольца):
Векторные поля, для к-рых
,
, наз. гармоническими. Потенциал
гармонич. поля удовлетворяет уравнению Лапласа. Скалярное поле
также наз. гармоническим.
Лит. см. при статье Векторное исчисление. А. Б. Иванов.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.